Développement limité et branches infinies

[Matiut]

Ah d'accord j'ai compris ^^

[adrien69]

Si tu parle de ça :
Il ne faut JAMAIS, JAMAIS, JAMAIS, perdre de vu la définition d'un "petit o" :
truc=o(bidule) signifie que truc=bidule x qq_chose_qui_tend_vers_0 (lorsque la variable tend vers ...)

Si c'est pas ARCHI CLAIR dans ta tête, je te suggére fortement une autre notation, c'est à dire bidule x epsilon(bidule) à la place de o(bidule) pour bien COMPRENDRE ce que tu écris.

Tu t'es emmêlé les pinceaux aussi ^^ c'est marrant à quel point c'est facile de faire des micro bourdes partout sur ce genre de sujet ^^

[Ben314]

Tu t'es emmêlé les pinceaux aussi ^^ c'est marrant à quel point c'est facile de faire des micro bourdes partout sur ce genre de sujet ^^

où ça ?

[Matiut]

J'ai fais comme Robic a fait à son deuxième message. C'est sûrement plus long mais j'ai compris.

[Robic]

Ah oui, utiliser les est sûrement préférable. J'ai utilisé des petits o parce qu'Adrien en parlait, mais je recommande moi aussi l'utilisation des .

Matiut : si tu n'es pas sensé avoir vu les développements limités au voisinage de l'infini, tu ne peux effectivement pas utiliser la méthode avec 1/x, mais pour la même raison tu ne devrais pas utiliser la méthode avec 2/(x-1). J'imagine qu'on attend de toi, plutôt, que tu trouves la limite de f(x)/x avec un équivalent, et ensuite que tu calcules b en cherchant la limite de f(x)-ax.

La méthode la plus simple est donc de faire un DL d'ordre 2 de ln(1+1/x)-ln(1-1/x) ?

Puisque tu as fini, je te montre à quel point c'était plus simple... On part de :

.

Comme 1/x tend vers 0, on applique les développements usuels en 0 (j'y vais à l'ordre 3 afin de connaître la position de la courbe par rapport à l'asymptote) :
, doù :
,
et de même :
.

On soustrait :
.

On multiplie par x² :
.

Cette dernière ligne contient toute l'information.

[Matiut]

Ah oui en effet c'était plus court !

Oui il fallait que j'utilise la lim de f(x)/x et lim (f(x)-ax).
Du coup comme on a vu par le DL que f(x) égale environ 2x; alors:
lim f(x)/x = 2x/2 = 2 et lim (f(x)-ax) = lim (2x-2x)=0.

Donc asymptote y=2x.

Par contre je n'ai pas fais la position relative car je ne savais pas comment faire...

[Robic]

Du coup comme on a vu par le DL que f(x) égale environ 2x; alors:
lim f(x)/x = 2x/2 = 2 et lim (f(x)-ax) = lim (2x-2x)=0.

Non, ça ne prouve rien ! On a vu que f(x)~2x, mais un équivalent n'est pas assez précis, car f(x)~2x+1 ou f(x)~2x+2 sont tout aussi valables (calcule (2x+2)/f(x), ça tend aussi vers 1).

L'équivalent f(x)~2x nous dit juste qu'il y a une asymptote oblique dont l'équation est de la forme y = ax + b. Ensuite on doit calculer b en cherchant la limite de [f(x) - 2x], mais tu n'as pas le droit de dire que [f(x) - 2x] ~ 2x - 2x, car ce serait soustraire des équivalents. Or les équivalents ne s'ajoutent ni ne se soustraient (bonnet d'âne assuré pour qui commettra cette faute classique...)

Avec cette méthode, il faut calculer la limite de . Je dois avouer que sans utiliser de développement limité, ça me paraît compliqué...

[Ben314]

Du coup comme on a vu par le DL que f(x) égale environ 2x; alors:
lim f(x)/x = 2x/2 = 2 et lim (f(x)-ax) = lim (2x-2x)=0.

Fait gaffe avec ton "f(x) égale environ à..." : en math, ça veut rien dire...
La seule notion qui ressemble à ça en math, c'est celle de "f(x) est équivalent à ... lorsque x tend vers..."
Ce qui te permet par exemple d'en déduire la limite de f(x)/x, mais surement pas celle de f(x)-2x (voir les nombreux commentaires déjà fait par Robic çi dessus à ce sujet...)


EDIT : grillé...

[Matiut]

Oh mince je croyais que c'était bon !!

Comment on fait alors pour faire la méthode lim f(x)/x et lim (f(x)-ax) sachant que je n'ai pas vu les DL en l'infini... ?

[Robic]

Sans développement limité, je ne vois pas.

Est-ce que tu as déjà vu les changements de variables y=1/x pour calculer des limites ?

Par exemple on cherche la limite en 0+ de : on pose y=1/x et on cherche la limite en plus l'infini de , qui est une limite bien connue.

Si tu as déjà vu ce genre de chose, tu écris que tu cherches la limite en l'infini de en faisant le changement de variable y=1/x, et tu calcules f(1/y)-2/y, ce qui va faire apparaître des logarithmes en fonction de y dont tu pourras calculer le développement limité. C'est une façon un peu déguisée de faire un développement asymptotique sans le dire...

[Matiut]

Oui j'ai déjà vu ça.

Ça veut dire que tout ce que j'ai fais c'est faux ?!

[Ben314]

C'est une façon un peu déguisée de faire un développement asymptotique sans le dire...

Oui, est de là à faire le "total" de la même manière (par exemple avec ce que tu as écrit 3 posts plus haut), je trouve que la "pas" à franchir n'est pas énorme...

Surtout qu'avec les notation "epsilon", je vois pas ce qui t'interdit d'écrire "blablabla... où epsilon(x) est une fonction qui tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini.

Le seul truc, c'est de ne pas dire que c'est un développement asymptotique... :hein:

[Matiut]

J'en ai marre tant pis je laisse comme ça... Ça m'a pris tout le weekend pour avoir tout faux au final

[Robic]

Cela dit ce genre d'exercice semble fait pour être résolu avec un développement asymptotique. (Matiut, tu n'aurais pas loupé un ou deux cours ?... :lol3: )

[Matiut]

Non, c'est qu'on a pas fait tout le cours encore !

J'ai laissé comme j'ai fais sauf que j'ai enlevé lim f(x)/x et lim (f(x)-ax

[Ben314]

Je sais que perso, là dedans :

,
et de même :
.

On soustrait :
.

On multiplie par x² :
.

A part la première ligne qui sort tout droit du cours sur les développement limités "normaux" (et à laquelle je rajouterais bien un petit "où \epsilon(y) tend vers 0 lorsque y tend vers 0),
ben le reste, c'est "du calcul" : on remplace un truc par un bidule, on ajoute, on soustrait et... touti quanti...
Enfin, bref, je vois pas du tout l'obligation d'avoir fait un cours particulier là dessus pour écrire un truc pareil.

A la limite, on peut faire remarquer que, comme en cours on n'a traité que le cas où la variable tend vers 0, il était judicieux de poser y=1/x pour ce ramener au cas traité en cours et puis c'est tout.

[adrien69]

où ça ?

Là :

c'est à dire bidule x epsilon(bidule) à la place de o(bidule) pour bien COMPRENDRE ce que tu écrit.

[Ben314]

effectivement, c'est "bidule x epsilon(variable)"

[Matiut]

Pour ln(1-1/x) pourquoi on met à la fin o(1/x²) et pas o(-1/x²) ?

[Ben314]

Pour ln(1-1/x) pourquoi on met à la fin o(1/x²) et pas o(-1/x²) ?

Parce que... c'est la même chose... :
dire qu'un truc divisé par (1/x²) tend vers zéro, c'est la même chose que de dire que le même truc divisé par (-1/x²) tend vers 0 vu que l'opposé de zéro c'est zéro.

Je te le RErépète : ne JAMAIS JAMAIS JAMAIS perdre de vu ce qu'est la définition d'un "petit o".
Par exemple, un , c'est pareil qu'un lorsque x->oo
et c'est pareil qu'un lorsque x->0.
Pourquoi ?