Développement en fractions continues

[Trident]

Salut à tous, j'ai un petit problème concernant un exercice sur le développement en fractions continues. Je vous met les résultats déjà établis et la question à laquelle je sèche.

On rappelle que si x est un réel, on dit que x est un irrationnel quadratique réduit si x est irrationnel et s'il existe un polynôme P de degré 2 à coefficients entiers tel que x soit racine de ce polynôme. Dans ce cas, on note x* l'autre racine du polynôme en question. [ce n'est pas précisé dans l'énoncé, mais j'ai montré que nécessairement x* existe toujours et est unique, autrement dit l'application x -> x* est bien définie].

On dit que x est de plus un irrationnel quadratique réduit si on a les inégalités :

x> 1 et -1 = 1, N >= 0 tels que :



Il faut montrer que [j'ai réussi, il suffit d'utiliser la relation précédente]

J'ai réussi à montrer que pour tout .

J'aurai aussi pu dire pour tout. Et donc du coup, c'est ça qui me pose problème, il faut quand même montrer que nécessairement ?

C'est précisément ceci qui me pose problème.

Merci d'avance pour votre aide.

[Manny06]

Salut à tous, j'ai un petit problème concernant un exercice sur le développement en fractions continues. Je vous met les résultats déjà établis et la question à laquelle je sèche.

On rappelle que si x est un réel, on dit que x est un irrationnel quadratique réduit si x est irrationnel et s'il existe un polynôme P de degré 2 à coefficients entiers tel que x soit racine de ce polynôme. Dans ce cas, on note x* l'autre racine du polynôme en question. [ce n'est pas précisé dans l'énoncé, mais j'ai montré que nécessairement x* existe toujours et est unique, autrement dit l'application x -> x* est bien définie].

On dit que x est de plus un irrationnel quadratique réduit si on a les inégalités :

x> 1 et -1 = 1, N >= 0 tels que :



Il faut montrer que [j'ai réussi, il suffit d'utiliser la relation précédente]

J'ai réussi à montrer que pour tout .

J'aurai aussi pu dire pour tout. Et donc du coup, c'est ça qui me pose problème, il faut quand même montrer que nécessairement ?

C'est précisément ceci qui me pose problème.

Merci d'avance pour votre aide.

avec la formule avec i€{0,.....T-1}
le premier indice decroit de N à N-T+1
si i€{0,....,N}
le premier indice decroit de N à 0 ce qui n'est pas pareil

[Doraki]

Comment t'as fait pour montrer que a(N-i) = A(N-i+T) pour i <= T-1 sans avoir à supposer que N >= T-1 ?

Je vois vraiment pas comment t'en es arrivé à cette conclusion bizarre alors que c'est complètement évident, en itérant la phrase "si (an) est T-périodique à partir de N et N>=1 alors (an) est T-périodique à partir de N-1", que an est T-périodique à partir de 0, donc T-périodique tout court.

[Trident]

J'ai oublié de préciser la question qui était :

montrer que x admet alors un développement périodique tout court , i.e :

.

Comment t'as fait pour montrer que a(N-i) = A(N-i+T) pour i = T-1 ?

Ben justement, c'est mon problème qui me dit que mon raisonnement est faux. J'ai en fait montrer que si a(N-i) existe (donc que N-i est positif), alors a(N-i) vaut a(N-i+T) en se prenant un i dans {0, ... T-1}.

Mais mon problème est de démontrer que N = T-1.

Je vois vraiment pas comment t'en es arrivé à cette conclusion bizarre alors que c'est complètement évident, en itérant la phrase "si (an) est T-périodique à partir de N et N>=1 alors (an) est T-périodique à partir de N-1", que an est T-périodique à partir de 0, donc T-périodique tout court.

Je ne te suis pas trop.

A la base, on sait pas du tout que x a un développement périodique tout court donc on pourrait être dans cette situation (en prenant N=2, T=2)


Donc, on a que puis que et (ça se démontre comme )

Donc on pourrait être dans cette situation :


Pourquoi n'est-on pas dans cette situation ?

[Doraki]

Ben justement, c'est mon problème qui me dit que mon raisonnement est faux. J'ai en fait montrer que si a(N-i) existe (donc que N-i est positif), alors a(N-i) vaut a(N-i+T) en se prenant un i dans {0, ... T-1}.

et d'où sort ta condition i <= T-1 ? qu'est-ce qui t'empêche d'aller plus loin ?

Donc on pourrait être dans cette situation :


Pourquoi n'est-on pas dans cette situation ?

je sais vraiment pas où tu vois un problème, mais

[Trident]

Ah mais en fait on s'en fout de la valeur du N ?

Moi je voulais montrer que nécessairement, la "bande" était la même que celle ci (même ordre en particulier : ce qui est pas forcément vrai).
Du coup, comment je peux rédiger tout ça ?

Je dis que , puis ... puis et que donc :



Est-ce correct ?

[Doraki]

Euh tes deux bandes n'ont pas la même longueur.

Prend un peu de recul dans ce cas t'as montré juste avant :

Si (an) est T-périodique à partir de N+1 (pour tout n >= N+1, a(n) = a(n+T)) et si (an) est le développement d'un nombre quadratique réduit, alors a(N) = a(N+T)

De là tu déduis que (an) est T-périodique à partir de N (pour tout n >= N, a(n) = a(n+T). En effet, ou bien n=N et tu viens de le montrer, ou bien n>= N+1 et c'est dans l'hypothèse)

Donc :
(an) est le développement d'un nombre quadratique réduit => pour tout T, pour tout N,
((an) est T-périodique à partir de N+1 => (an) est T-périodique à partir de N)

En faisant varier N, tu en déduis avec une récurrence complètement triviale que si (an) est T-périodique à partir de N+1, alors (an) est T-périodique à partir de 0 (pour tout n >= 0, a(n) = a(n+T)), c'est-à-dire T-périodique.

[Trident]

Euh tes deux bandes n'ont pas la même longueur.

Merci Doraki, j'ai bien compris mais la question suggère que les deux bandes aient même longueur.

Je rappelle la question [ce qui suit est dans la question, les notations n'ont pas été introduites par moi même] :
D'après le cours, on sait que le développement en fractions continues de x est ultimement périodique
: il existe T >=1 et N>=1 tels que :

.

Montrer qu'en fait, le développement de x est purement périodique :

.

Longueur de la bande : : N+T-(N+1)+1=T

Longueur de la bande : : T-1-0+1= T

Donc d'après la question, faut montrer que la longueur est la même et je pense que toi, tu montres juste que le développement est purement périodique.

A moins que je dise une bêtise.

[Doraki]

Ben au post d'avant tu parlais de [a0...an]
Le raisonnement que j'ai montré montre que le T est le même au début et à la fin.

[Trident]

OK, c"est vrai. Merci pour ton aide.