Développement de la fonction exponentielle [résolu]

[mathmax]

Bonjour,

J'essai de comprendre pourquoi le développement en séries entières :

somme de 0 à l'infini de x^n/n!

est égale à la fonction puissance exponentielle.

Ce développement constitue une définition de la fonction exponentielle. On voit facilement qu'en le dérivant on retombe sur le même développement, mais ce que je voudrais savoir, c'est comment peut-on voir à partir d'un tel développement qu'il s'agit d'une fonction puissance (e à la puissance x)

Sauriez-vous me l'expliquer ?

merci

[Pythales]

Soit et
Si on calcule f(x).f(y), on obtient ce qui prouve que f(x).f(y)=f(x+y), d'où
a se calcule par f(1) soit

[mathmax]

J'ai bien compris ça, mais en revanche je n'arrive pas à démontrer que si une fonction vérifie f(x).f(y) = f(x+y) alors il s'agit d'une fonction puissance. Ou plutôt, dans la démonstration que je connais, on utilise l'exponentielle, mais à prioris on ne connais pas encore l'exponentielle puisque c'est justement elle qu'on cherche en faisant cette démonstration...

[yos]

fonction puissance exponentielle.

Hum...
Fonction puissance (d'exposant ) :.
Fonction exponentielle (de base a) :.

Bon mais c'est que du vocabulaire.
Revenons à ta question : si tu sais faire un produit de Cauchy de deux séries, le résultat indiqué par Pythalès permet de conclure. En effet l'égalité donne aisément (par récurrence) pour un entier n. Ensuite on étend assez facilement cette égalité au cas d'un exposant rationnel r : . Le passage au cas d'un réel x est alors une définition! En effet il faut bien définir un jour les exposants réels et c'est ainsi qu'on procède.
On peut faire la construction en partant du fait que la série est solution de l'équation différentielle y'=y. Ca évite le produit de Cauchy mais c'est pas forcément plus simple car dériver une série terme à terme nécessite des notions sur les séries de fonctions.

[Nota-Bene19]

ça, mais en revanche je n'arrive pas à démontrer que si une fonction vérifie f(x).f(y) = f(x+y) alors il s'agit d'une Ou plutôt, dans la démonstration que je connais, on utilise l'exponentielle, mais à prioris on ne connais pas encore l'exponentielle puisque c'est justement elle qu'on cherche en faisant cette démonstration...

gfj,nhfkw,nbbhjkhgkjkjlkjlklllllllllllllfonction vérifie f(x).f(y) = f(x+y) alors il s'agit d'une Ou plutôt, dans la démonstration que je connais, on utilise l'exponentielle, mais à prioris fonction vérifie f(x).f(y) = f(x+y) alors il s'agit d'une Ou plutôt, dans la démonstration que je connais, on utilise l'exponentielle, mais à prioris

[Zebulon]

Bonjour, merci NB pour tes explications...

[mathmax]

Ensuite on étend assez facilement cette égalité au cas d'un exposant rationnel r

Comment ? En fait c'est surtout c'est surtout d'étendre cette égalité au cas d'un exposant réel qui m'interesse...

[elladan]

Si tu rajoutes la continuité de la fonction, en considérant le développement décimal propre d'un réel
et en considérant la suite ,
par séquentielle continuité, tu parviendras à établir que

[yos]

par séquentielle continuité, tu parviendras à établir que

Ca suppose qu'on ait défini au préalable les exposants réels. Comment fais-tu?

[elladan]

Hum, désolé je me suis mal exprimé

Je définis par séquentielle continuité et cette définition est bien évidemment cohérente avec celle qu'on avait pour Q (puisque c'est comme ça qu'on la construit).

C'est cette cohérence que j'ai exprimée un peu hardiment par .

[mathmax]

séquentielle continuité je connais pas...

[serge75]

Je vais essayer de fournir une réponse de synthèse.
En fait, il n'y a pas de réponse unique, tout dépend de ce qu'on est supposé connaitre sur l'exponentielle lorsqu'on aborde la fameuse série somme des x^n/n!.
L EXPOSE CLASSIQUE
on définit en un premier temps l'exponentielle réelle, par exemple de la façon suivante (bien que ce ne soit plus celle enseignée en terminale) : on définit la fonction ln (logarithme néperien) comme primitive s'annulant en 1 de 1/x. Puis l'exponentielle en est par définition la réciproque. Le seul prérecquis à avoir pour cette construction est l'existence de primitive à une fonction continue, et que sur un intervalle, toutes les primitives diffèrent d'une constante.
En un deuxième temps, on écrit pour l'exponentielle son égalité de taylor avec reste intégral en 0. Une majoration 'à la main' du reste montre que celui ci-tend vers 0, et donc pour tout x réel, exp(x) est la somme de la série de terme général x^,/n!.
De là (prolongement analytique) il est tentant de définir ainsi l'exponentiel d'un nombre complexe : par définition, pour z complexe, exp(z) vaut la somme de la série de terme général z^n/n!. On vérifie qu'on retrouve exp(a+b)=exp(a).exp(b), et on définit ainsi rigoureusement les fonctions sinus et cosinus par la formule d'Euler (qui devient ainsi une définition).

FACON je ne connais pas l'exponentielle :
Après avoir vérifié que la série converge, on définit pour tout réel (ou éventuellement complexe) x : exp(x)=sum(x^n/n!,n=0..infinity).
On vérifie que exp(x+y)=exp(x)exp(y). De là on pose e=exp(1).
on montre successivement pour tout entier naturel n, puis pour tout entier relatif n que exp(n)=e^n (au sens de la puissance telle que définie en collège). Puis on montre que pour tout rationnel r=p/q, on a exp(r)=e^r^(au sens de x^r=racine qième de x^p). De là, on décide d'étendre aux réels la notation e^x en posant e^x=exp(x). Reste alors juste à vérifier la continuité de l'exponentielle.

[mathmax]

Une fois défini la fonction exponentielle sur Q, on utilise la densité de Q dans R pour prolonger cette fonction à IR, c'est bien çà ?

[serge75]

mathmax : tout dépend du mode de construction adopté pour l'exponentielle, mais ce que tu décris en est une construction possible.