Deux racines cubiques
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Doraki
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par Doraki » 19 Oct 2011, 15:02
il faut chercher a tel que (1/2 + a sqrt( truc))^3 = 3 + sqrt( truc ).
Si le résultat est vrai alors a existe et est rationnel.
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Black Jack
par Black Jack » 19 Oct 2011, 15:39
L'égalité à démontrer peut s'écrire :
[V(368/27) + 3]^(1/3) - [V(368/27) - 3]^(1/3) = 1
(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3a²b - b³
*****************
[V(368/27) + 3]^(1/3) - [V(368/27) - 3]^(1/3)
= [[V(368/27) + 3]^(1/3) - [V(368/27) - 3]^(1/3)]^3
= V(368/27) + 3 - 3.[V(368/27) + 3]^(2/3) * [V(368/27) - 3]^(1/3) + 3.[V(368/27) + 3]^(1/3)* [V(368/27) - 3]^(2/3) - V(368/27) + 3
= - 3.[V(368/27) + 3]^(2/3) * [V(368/27) - 3]^(1/3) + 3.[V(368/27) + 3]^(1/3)* [V(368/27) - 3]^(2/3) + 6
= - 3.[V(368/27) + 3]^(1/3) * [V(368/27) + 3]^(1/3) * [V(368/27) - 3]^(1/3) + 3.[V(368/27) + 3]^(1/3)* [V(368/27) - 3]^(1/3) * [V(368/27) - 3]^(1/3) + 6
= - 3.[V(368/27) + 3]^(1/3) * [368/27 - 3²]^(1/3) + 3.[368/27 - 3²]^(1/3) * [V(368/27) - 3]^(1/3) + 6
= - 3.[V(368/27) + 3]^(1/3) * [125/27]^(1/3) + 3.[125/27]^(1/3) * [V(368/27) - 3]^(1/3) + 6
= - 3.[125/27]^(1/3) * [(V(368/27) + 3)^(1/3) - (V(368/27) - 3)^(1/3)] + 6
On aboutit donc à :
[V(368/27) + 3]^(1/3) - [V(368/27) - 3]^(1/3) = - 3.[125/27]^(1/3) * [(V(368/27) + 3)^(1/3) - (V(368/27) - 3)^(1/3)] + 6
[V(368/27) + 3]^(1/3) - [V(368/27) - 3]^(1/3) = - [27*125/27]^(1/3) * [(V(368/27) + 3)^(1/3) - (V(368/27) - 3)^(1/3)] + 6
[V(368/27) + 3]^(1/3) - [V(368/27) - 3]^(1/3) = - [125]^(1/3) * [(V(368/27) + 3)^(1/3) - (V(368/27) - 3)^(1/3)] + 6
[V(368/27) + 3]^(1/3) - [V(368/27) - 3]^(1/3) = - 5 * [(V(368/27) + 3)^(1/3) - (V(368/27) - 3)^(1/3)] + 6
6 * [[V(368/27) + 3]^(1/3) - [V(368/27) - 3]^(1/3) ] = 6
[V(368/27) + 3]^(1/3) - [V(368/27) - 3]^(1/3) = 1
CQFD
Mais c'est calculatoire et embêtant à faire.
Il y a sûrement plus simple.
:zen:
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Euler07
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par Euler07 » 19 Oct 2011, 16:04
Ah oui y a plus simple
On peut poser x = a - b. Puis voir combien font a^3 - b^3. Le reste passe tout seul
:livre:
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cheria2010
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par cheria2010 » 19 Oct 2011, 17:07
salut
si on pose :
et
donc
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Doraki
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par Doraki » 19 Oct 2011, 17:15
Euler07 a écrit:Ah oui y a plus simple
On peut poser x = a - b. Puis voir combien font a^3 - b^3. Le reste passe tout seul
Je suis pas sûr que trouver la valeur de (a^3 - b^3) / (a-b) soit super simple.
cheria2010 a écrit:salut
si on pose :
et
donc
et à partir de là t'en déduis les valeurs de a^3 et b^3, donc t'en prends les racines cubiques et tu les sommes ? ça fait quoi d'autre à part tourner en rond ?
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Euler07
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par Euler07 » 19 Oct 2011, 17:16
Doraki a écrit:Je suis pas sûr que trouver la valeur de (a^3 - b^3) / (a-b) soit super simple.
et à partir de là t'en déduis les valeurs de a^3 et b^3, donc t'en prends les racines cubiques et tu les sommes ? ça fait quoi d'autre à part tourner en rond ?
Non on tourne pas en rond et je ne fais pas le rapport de (a^3-b^3)/(a-b) déjà
:livre:
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Doraki
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par Doraki » 19 Oct 2011, 17:27
ah tu veux dire que tu trouves une équation de degré 3 satisfaite par x et tu vérifies que 1 est solution ?
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messinmaisoui
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par messinmaisoui » 19 Oct 2011, 17:47
cheria2010 a écrit:salut
si on pose :
et
donc
Remarque en passant ... :crunch:
Dans ce cas sachant que
(a+b)³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
= (
a³ + b³) + 3
ab(a+b)
On trouve (a+b)³ = 6 + 3 (-5/3) (a+b)
en posant Y = a+b on trouve Y³ = 6 -5(a+b)
soit (Y-1)(Y² + X + 6) = 0
et donc Y-1 = 0 => a+b =1 CQFD ?
Mon avatar me fait peur, est-ce normal docteur ?
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Euler07
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par Euler07 » 19 Oct 2011, 19:32
Doraki a écrit:ah tu veux dire que tu trouves une équation de degré 3 satisfaite par x et tu vérifies que 1 est solution ?
Ouais Doraki c'est un peu ça, je factorise tout de même a^3-b^3
:livre:
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