Deug SM, EDP

[Anonyme]

salut, voici un exo sur lequel je bute :


on suppose que f est une fonction de classe C1 sur le domaine ouvert U
de R², défini par U={(x,y)/x>0}

on va chercher a résoudre deux équations aux dérivées partielles de la
forme x*df/dx + y*df/dy = g(x,y)

a) Montrer que la fonction f(x,y) = xy est solution de x*df/dx +
y*df/dy =2xy

=> trivial que c vrai...

b) on étudie a présent l'équation (E) : x*df/dx + y*df/dy = f(x,y)
on pose u = x et v = y/x, où x = u et y = uv, effectuer le chgt de
variable et montrer que l'équation (E) se ramène a (E1) : u*df/du =
f1(u,v)

alors là... je fais le chgt de variable.. j'obtient :

u*df/du + uv*df/duv = f

soit u*df/du = f - uv*df/duv

j'ai donc f1(u,v) = f - uv*df/duv

u*df/du = f1(u,v)

b) on pose a présent u*phi(u,v) = f1(u,v), montrer que phi(u,v) ne
dépend pas de v, en déduire que les solutions sont de la forme f(x,y) =
x*phi(y/x)

je sais pas comment obtenir phi. soit je divise f1 par u, soit j'essaye
de le transformer pour l'avoir sous une forme u*qqch, et qqch = phi.

mais je n'arirve pas a avoir une forme convenable, pour la suite

normalement une fois trouvé phi, pour montrer qu'elle ne dépend aps de
v, je dois avoir d(phi)/dv=0. mais alors là, vu l'expression de fou que
j'ai pour phi, ça coince j'arrive pas a obtenir 0.

d) montrer que toutes les fonctions f de classe C1 sur U telle que
f(x,y) = x*phi(y/x) o* phi est de classe C1 sur U est solution de (E)


voila, si qqn peut me filer un coup de main, ça serait sympa.

--
Nico,
http://astrosurf.com/nicoastro
messenger : nicolas_aunai@hotmail.com

[Anonyme]

Nicolas Aunai a écrit :
> montrer que l'équation (E) se ramène a (E1) : u*df/du = f1(u,v)

> b) on pose a présent u*phi(u,v) = f1(u,v), montrer que phi(u,v) ne
> dépend pas de v, en déduire que les solutions sont de la forme f(x,y) =
> x*phi(y/x)

Montrer que phi ne dépend pas de v, revient à montrer que f1 lui même ne
dépend pas de v (puisqu'on ne fait que multiplier par u) ça me parait
bizarre. D'autant qu'on dit juste avant que f1 = u df/du, donc on aurait
phi(u,v) = df/du et il faudrait que df/du ne dépende pas de v.

Bizarre, ça voudrait dire que f = g(u) + h(v) si je ne m'abuse.
D'autant que dans la suite j'ai cru lire phi(y/x)... càd phi(v) ! Donc
la question, serait plutôt "montrer que phi ne dépend pas de u", non?

Et là je dois dire que je suis hésitant... good luck.

--
Nico. *Note: Changement d'adresse email progressif*
J'abandonne "youngfrog at webchat.org" pour privilégier
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[Anonyme]

Après mure réflexion, "Nicolas Richard" a écrit :

> Montrer que phi ne dépend pas de v, revient à montrer que f1 lui même ne
> dépend pas de v (puisqu'on ne fait que multiplier par u) ça me parait
> bizarre. D'autant qu'on dit juste avant que f1 = u df/du, donc on aurait
> phi(u,v) = df/du et il faudrait que df/du ne dépende pas de v.
>
> Bizarre, ça voudrait dire que f = g(u) + h(v) si je ne m'abuse.
> D'autant que dans la suite j'ai cru lire phi(y/x)... càd phi(v) ! Donc
> la question, serait plutôt "montrer que phi ne dépend pas de u", non?
>
> Et là je dois dire que je suis hésitant... good luck.


bah... je suis tout aussi perplexe quant a la justesse du sujet...
maintenant, l'expérience montre, qu'en général, celui qui pense qu'il y
a une erreur dans l'exo, se trompe..

donc je vois pas...

--
Nico,
http://astrosurf.com/nicoastro
messenger : nicolas_aunai@hotmail.com