Déterminer une matrice de projection à un plan P

[novicemaths]

Bonjour

Soient

On considère le plan P d'équation -2x - 2y +3z=0 et la droite D engendré par le vecteur

Donner la matrice dans la base de la projection vectorielle sur P parallèlement à D.

Qu'elle est la méthode à employer pour répondre à cette question.

A bientôt

[GaBuZoMeu]

la base

Tu veux dire ?

Tu calcules les coordonnées de l'image du vecteur dans la projection. Ça te donne la matrice de cette projection.
Tu connais le vecteur directeur de la droite D. Le projeté de sur P parallèlement à D est l'unique vecteur de la forme qui appartient à P. Tu rentres les coordonnées de dans l'équation de P, comme ça tu détermines et tu as les coordonnées du projeté en fonction de .

[novicemaths]

Oui c'est bien

Il faudrait que je vois un cours complet sur ce sujet, dans mes deux livres d'algèbre la méthode de calcul n'est pas détaillé.

A bientôt.

[GaBuZoMeu]

Je t'ai indiqué une méthode de calcul. Qu'est-ce que tu n'as pas compris ?

[novicemaths]

Bonsoir

Voici ce qui est expliqué dans mon livre, j'ai essayé d'adapté mon problème au petit cours.

Soit X =(x, y, z) quelconque et X'=(x', y', z') on traduit les deux conditions :
: il existe tel que
X' appartient à P soit -2x'-2y'+3z'=0 ceci se traduit par
On en déduit On a alors , ,

Avec ce genre de calcul, comment arrive-t-on à une matrice de taille 3.

A bientôt

[GaBuZoMeu]

Je croyais que D était engendrée par ? Ça ne colle pas avec ton calcul.

[novicemaths]

Donc , il faut faire

[GaBuZoMeu]

Non, pas du tout. Reprends ce que tu avais fait (et qui correspond à ce que j'expliquais, mais je ne sais pas si tu t'en es rendu compte) mais avec le bon vecteur engendrant D.

[novicemaths]

Comme ceci ?

[GaBuZoMeu]

À croire que tu n'avais rien compris au calcul que tu avais fait cinq messages plus haut ... Tu sembles incapable de le reprendre avec le bon vecteur, alors qu'il n'y a pas grand chose à changer.

[GaBuZoMeu]

Au fait, qui sont ? J'ai supposé que ce sont les vecteurs de la base canonique de , mais tu n'as rien dit sur qui ils sont.

[tournesol]

On détermine une base de P par calcul mental :f1= (3,0,2) et f2=(0,3,2)
On détermine une base de D par calcul mental : f3=(1,1,1)
La matrice de ta projection dans la base (f1,f2,f3) est
La matrice de passage de la base (e1,e2,e3) vers la base (f1,f2,f3) est
Avec ta calculatrice , tu calcules et tu obtiens ainsi ta matrice:

[GaBuZoMeu]

Pourquoi faire l'exercice (en plus de façon qui est loin d'être optimale !) à la place qu questionneur ??

[tournesol]

J'ai proposé cette méthode car elle permet un contrôle du résultat avec une calculette de lycée mais en sachant qu'elle n'interférait pas avec la tienne .
Bien entendu , ta méthode non seulement colle parfaitement à la définition mais est de loin la plus rapide pour obtenir la matrice . Très pédagogique donc .

[novicemaths]

Bonsoir

Je reviens sur ce post pour demander comment on trouve D exactement.

A bientôt

[hdci]

Bonjour,
La droite D est engendrée par le vecteur e1+e2+e3.

Dans la base (e1,e2,e3), le vecteur e1 a pour coordonnées (1,0,0), le vecteur e2, (0,1,0) et e3, (0,0,1)

donc e1+e2+e3=(1,1,1) et la droite est engendrée par ce vecteur, donc tous les points de la droite ont pour coordonnées (x,x,x) où x parcourt IR.

De façon générale, si (a,b,c) est le vecteur directeur d'une droite, les points de la droite (vectorielle, donc passant par l'origine) sont les points (x,y,z) vérifiant (x,y,z)=k(a,b,c).
Cela fait 3 équations avec 4 inconnues (k,x,y et z), on exprime à l'iade d'une des équations le réel k (par exemple si a n'est pas nul, k=x/a) et on remplace dans les deux autres ; ces deux autres équations donnent l'équation cartésienne de la droite dans l'espace (deux équations linéaires en x, y et z)

Dans le cas de D, l'équation est x=y=z (cela fait bien un système de 2 équations : x=y et y=z).