Determination de A^n pour n négatif

[Eskoris66]

Bonjour,

Je vous met mon énoncé

Soit A une matrice carré, et x un réel, In la matrice identité de dimension n.

|0 0 0 x|
|1 0 0 0|
|0 1 0 0|
|0 0 1 0|

1) Chercher les valeurs de x pour lesquelles A est inversible :

A^4 = x*In <=> A*[ (1/x)*A^3] = In Donc A inversible si x différent de 0. ( En particulier A^-1 = (1/x)*A^3 )

2) Pour ces valeurs, déterminer A^n pour tout entier n dans Z avec la notation A^n = (A^−1)^−n, si n
est négatif :

Tout ce que j'ai trouvé pour l'instant se résume à ceci : A^n = (A^−1)^−n = ((1/x)*A^3)^-n = (x^n)*A^-3n
Je ne vois vraiment pas la solution, je ne suis pas certain que la piste que j'ai évoquée soit intéressante.

Pouvez-vous me donner une idée ?

[Ben314]

Salut,
Le fait que A^4=x.In implique effectivement que A est inversible si et seulement si x est non nul, mais ton argument ne va pas du tout dans le cas où x est nul vu que tu écrit explicitement du 1/x avant d'avoir précisé que tu supposait x non nul ce qui évidement n'est pas acceptable : il faut vérifier (ou supposer) qu'un truc est non nul AVANT de diviser par le truc en question !!!!
Bref, ton calcul marche à condition d'écrire que :
"Si x est non nul alors ..... donc A est inversible"
Et vu sous cette forme, on voit bien que ça ne prouve pas que A est non inversible lorsque x=0.

Sinon, a mon avis, avant de traiter le cas des exposants négatifs (où on te donne la définition correspondant à ce cas là), ben tu ferait mieux de traiter le cas positif (ou, évidement, tu ne risque pas d'utiliser la définition qu'on te donne vu qu'elle correspond au cas où l'exposant est négatif).

Si je prend par exemple x=2 et que je te demande combien vaut A^135, tu fait quoi ?

[Eskoris66]

Bonjour,

D'abord, si vous avez lu :

" A^4 = x*In <=> A*[ (1/x)*A^3] = In Donc A inversible si X DIFFERENT DE 0. ( En particulier A^-1 = (1/x)*A^3 ) "

Ensuite, pour A^135 = ((A^4)^33)*A^3 = (1/x^33)*A^3

[Ben314]

J'ai parfaitement totalement complètement tout lu et je persiste (et je signe) que dans ta prose, on lit du 1/x avant de lire "x non nul" et que ça ne va pas.
(bis et répéta) On vérifie qu'une quantité est non nulle AVANT de diviser par la quantité en question.

Et je répète (encore...) que non seulement la rédaction ne va pas, mais qu'en plus, tu ne répond pas totalement à la question vu que tu ne démontre pas que la matrice est non inversible lorsque x=0.

Sinon, concernant A^135, c'est effectivement ça qu'il faut faire (à la limite, on peut calculer A^3, mais je suis pas sûr que ce soit utile).
Peut tu écrire le cas général, c'est à dire A^n avec n un entier naturel quelconque ? (on verra ensuite le cas des négatifs)

[Eskoris66]

Si x = 0, A^4 = 0 <=> A non inversible <=> det(A) = 0

Comment vous y prendriez-vous pour avoir A^n pour tout n entiers relatifs négatifs en utilisant l'écriture donnée en haut ? (Il est nécessaire de l'utiliser)

[Ben314]

Si x = 0, A^4 = 0 <=> A non inversible <=> det(A^4) = 0

Je vais encore te faire c..., mais de nouveau la rédaction ne va pas : si x=0 alors A^4=0, c'est O.K., mais par contre A^4=0 n'est pas équivalent à "A non inversible", mais ça implique uniquement que A est non inversible.
Et là où ça "saute aux yeux" que ça déconne, c'est qu'il est bien évident que A^4=0 n'est pas équivalent à det(A^4)=0.

Sinon, évidement qu'il faut que tu utilise la définition qu'on te donne concernant ce que veut dire A^n lorsque n est négatif : comment veut tu faire quoi que ce soit avec A^(-135) si tu n'as pas de définition de ce qu'est un exposant négatif ?

Enfin, la question n'est pas vraiment de savoir comment moi je m'y prendrais (je suis prof. et l'algèbre linéaire ça fait plus de 30 ans que je l'enseigne...) mais plutôt comment toi tu t'y prendrais (et tu n'as pas répondu à la question concernant le cas général pour A^n avec n positif...)

Tu ferais comment pour évaluer A^(-23) ?
Lé définition qu'on te donne te dit que c'est égal à (A^-1)^23 mais ensuite ?

[Eskoris66]

Veuillez m'escuser j'ai effectivement fait une grosse bourde.

Si on choisit x = 0, on a A :

|0 0 0 0|
|1 0 0 0|
|0 1 0 0|
|0 0 1 0|

Pour que A soit inversible il faut que det(A) différent de 0.

Evidemment det(A) = 0. Donc pour x= 0, A est non inversible.

(J'espère que ça ira mieux pour la rédaction)

Je donnerai un résumé de ma réponse pour les autres.

[chan79]

A^4 = x*In

Salut
Elle est d'ordre 4 ou d'ordre n, la matrice A ?

[Eskoris66]

L'ordre de la matrice est 4. Donc In = I4

[Kolis]

Bonjour !
Si j'ai bien lu l'énoncé initial tu dois trouver l'expression de et celle de .
Pour le premier calcul puisque tu as su * trouver tu l'adaptes pour un entier positif .

Pour le deuxième calcul tu as la définition et . Il te reste donc à dire comment calculer .
Tu sais ce que vaut en fonction de , il te reste à calculer . A toi!

* Pas tout à fait : tu as mis un sans aucune raison, disons un lapsus...

[Eskoris66]

Merci,

x réel
E(x), partie entière de x.
alors si j'ai bien compris pour tout n positif : A^n = x^E(n/4) * A^(n-4*E(n/4))
Donc pour tout p naturel : (A^-1)^p = ((1/x)*A^3)^p = (1/x^p)*A^3p = (1/x^n)*(x^E(3p/4) * A^(3p-4E(3p/4)))
Seulement je ne vois ce que cela apporte...

[Kolis]

Comme c'est écrit cela n'apporte rien effectivement!
Pourquoi n'écris-tu pas : puis pour

Et, si pour ?

[Eskoris66]

soit k,r deux entiers relatifs

Donc est obligé de connaitre A^0, A^1, A^2, A^3 pour déterminer A^n

A^j = A^(4k+r) = ((A^4)^k)*A^r = ((xI4)^k)*A^r = (x^k)*A^r , avec r € {0,1,2,3}
(c'est une autre écriture de l'expression que j'ai donnée précédemment)

Maintenant essayons d’utiliser A^-1 = (1/x)*A^3

On cherche A^n pour n négatif (entiers relatif). Donc on pose m entiers naturel tel que (A^-1)^-n = A^n = A^-m
3m = 4q+s
-3n = 4q+s

(A^-1)^m = ((1/x)*A^3)^m = (1/x^m)*A^(3m) = (1/x^m)*(x^(q)*A^s) = x^(q-m)*A^s

A^-m = x^(q-m)*A^s = A^n = x^(q+n)*A^s
avec s € {0,1,2,3}

Est-ce que c'est ce qu'on cherche ?

[Kolis]

Donc est obligé de connaitre A^0, A^1, A^2, A^3 pour déterminer A^n
............
Est-ce que c'est ce qu'on cherche ?

La première ligne est enfin quelque chose de raisonnable mais çà a pris du temps !

Ce qu'on cherche tu l'as dit depuis le début : calculer .

[Eskoris66]

Bon je suppose que le problème est résolu.