Déterminant

[elda73]

bonjour !!

pourriez vous me depanner sur la question suivante ?

soit r1,r2,..,rn,a,b appartient à R et A= (aij) une matice de R definie par :
pour tout i,j de [1,n]
i=j => aij= ri
i aij= a
i>j => aij= b
Soit J la matrice dont tous les coefficients sont egaux à 1.

Montrer que det(A+µJ) est une fonction affine de µ.

J'ai déjà essayé de soustraire chaque colonne a la colonne superieure (Ci à Ci+1) mais aprés je bloque !!!

Merci d'avance !!

[fahr451]

bonsoir c 'est bien

on soustrait Cn-1 à Cn etc , ...C1 à C2 tous les mu sont partis sauf ceux de la première colonne et en developpant le déterminant par rapport à la première colonne on a le résultat
f(u) = alpha mu + beta
ensuite j 'imagine ( j'ai une imagination débordante)

qu 'on demande det A

c'est pour mu = 0

on calcule d'abord avec mu = -a et mu = - b (cas où a et b différents)
d'où alpha et beta d'ou det A

le cas où a = b est joli on prend l 'expression précédente avec b différent de a et on passe à la limite b-->a

[thomasg]

Bonjour, je vais remplacer mu par x (car je ne sais pas taper mu)

enlève la dernière colonne à chacune des autres colonnes (les x n'apparaissent plus que dans les coefficients de la dernière colonne)

développe ensuite ton déterminant par rapport à la dernière colonne, on obtient bien une expression de la forme Ax+B.

A bientôt.