Déterminant

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benekire2
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Déterminant

par benekire2 » 30 Déc 2010, 18:10

Bonjour,

J'ai un petit problème, oèu je ne vois pas trop quoi utiliser :

Soit une application de dans non constante telle que pour tout , on ait , montrer que si et seulement si A est non inversible.


Merci :happy3:



Nightmare
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par Nightmare » 30 Déc 2010, 18:27

Hello,

tu n'as pas d'idées? Le sens => est évident : Si A était inversible, et un passage au déterminant permet de conclure.

Pour le sens <=, on peut essayer de chercher des matrices semblables ou au moins équivalentes à A plus simple. Pour une matrice non inversible, on peut regarder du côté des matrices nilpotentes pour tuer le problème.

benekire2
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par benekire2 » 30 Déc 2010, 18:46

Salut :lol3:

Bah le sens direct est facile oui, c'est le sens réciproque que je trouve piquant :zen:

Donc le sens réciproque, je comprends pas trop pourquoi tu dit " pour les matrices non inversibles on regardera du côté des matrices nilpotentes pour tuer le problème" puisque avant on parlait aussi de matrices non inversibles ?

Nightmare
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par Nightmare » 30 Déc 2010, 19:15

Je n'ai pas trop compris ce que tu n'as pas compris :s Le sens => je l'ai fait par contraposée : Si A est inversible alors f(A) est différent de 0.

Maintenant pour le sens réciproque, on part de A non inversible et on veut montrer que f(A)=0, pour cela je te propose de trouver une matrice équivalente à A dont on pourrait dire des choses sur l'image par f. C'est pour cela que je te propose de regarder du côté des matrices nilpotentes (car il est clair que l'image d'une matrice nilpotente par f est nulle !)

benekire2
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par benekire2 » 30 Déc 2010, 19:48

Sens direct : Oui y avait pas de problème ..

Sens réciproque : Je comprends mieux ce que tu veut dire maintenant ... j'ai cru que tu me donnait deux approches différentes. Bon, l'idéal serait de montrer que toute matrice non inversible est semblable a une matrice nilpotente. Après , je ne sais pas si c'est toujours faisable , je vais voir ce que cela donne !!

Nightmare
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par Nightmare » 30 Déc 2010, 19:52

Semblable, c'est faux, équivalente, c'est vrai !

benekire2
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par benekire2 » 30 Déc 2010, 20:20

Bon, ba go pour équivalentes :we:

Donc comme deux matrices sont équivalentes ssi elles ont même rang il suffit de trouver des matrices nilpotentes de rang égla à rg(A)

Nightmare
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par Nightmare » 30 Déc 2010, 20:45

C'est bien l'idée !

benekire2
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par benekire2 » 30 Déc 2010, 20:59

Nightmare a écrit:C'est bien l'idée !


Cela dit , je ne vois pas pourquoi il existerait des matrices nilpotantes de tout rang (différent de 0 et n)

J'ai fais des tests sur les matrices 4*4 pour essayer de les trouver a la main --> En vain ..

benekire2
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par benekire2 » 30 Déc 2010, 21:07

hum, cela dit si u est nilpotent d'indice n je conjecture fort que rg(u)=n-1 puisque la suite des Im u^k est strictement décroissante ...

Nightmare
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par Nightmare » 30 Déc 2010, 21:08

Peu importante l'indice de nilpotence, on veut pouvoir construire une matrice nilpotente de rang r quelconque avec r < n et c'est bien possible et pas très dur, il suffit de mettre des 0 et des 1 là où il faut dans la matrice.

benekire2
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par benekire2 » 30 Déc 2010, 21:28

Mince j'ai supprimé le message, je savais pas que tu avais répondu si vite ..

Oui, j'avais essayé de les faire à la main ces matrices, en mettant des . et des 1 aux bonnes places, j'avais pas réussi :mur: j'ai pris n=3 par exemple ,J'ai fini par trouver un truc acceptable, mais faut différencier le cas pair et le cas impair.

Nightmare
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par Nightmare » 30 Déc 2010, 21:33

Hum a priori, pas besoin de faire cette distinction.

benekire2
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par benekire2 » 30 Déc 2010, 21:50

A quoi ressemble les tiennes ?

Perso ce sont des trucs du genre :

n=4

rg=3
0001
0010
0000
0100

et pour n=5

rg=4

00001
00010
00000
00100
01000

pour n=6 avec rg=5 :

000001
000010
000100
000000
001000
010000

Nightmare
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par Nightmare » 31 Déc 2010, 02:53

C'est un peu "trop" compliqué.

Assez facilement, la matrice par blocs est nilpotente de rang r.

benekire2
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par benekire2 » 31 Déc 2010, 13:31

Nightmare a écrit:C'est un peu "trop" compliqué.

Assez facilement, la matrice par blocs est nilpotente de rang r.


Ok , merci beaucoup !! Au moins maintenant je le saurais !

 

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