tu n'as pas d'idées? Le sens => est évident : Si A était inversible, et un passage au déterminant permet de conclure.
Pour le sens <=, on peut essayer de chercher des matrices semblables ou au moins équivalentes à A plus simple. Pour une matrice non inversible, on peut regarder du côté des matrices nilpotentes pour tuer le problème.
Bah le sens direct est facile oui, c'est le sens réciproque que je trouve piquant :zen:
Donc le sens réciproque, je comprends pas trop pourquoi tu dit " pour les matrices non inversibles on regardera du côté des matrices nilpotentes pour tuer le problème" puisque avant on parlait aussi de matrices non inversibles ?
Je n'ai pas trop compris ce que tu n'as pas compris :s Le sens => je l'ai fait par contraposée : Si A est inversible alors f(A) est différent de 0.
Maintenant pour le sens réciproque, on part de A non inversible et on veut montrer que f(A)=0, pour cela je te propose de trouver une matrice équivalente à A dont on pourrait dire des choses sur l'image par f. C'est pour cela que je te propose de regarder du côté des matrices nilpotentes (car il est clair que l'image d'une matrice nilpotente par f est nulle !)
Sens réciproque : Je comprends mieux ce que tu veut dire maintenant ... j'ai cru que tu me donnait deux approches différentes. Bon, l'idéal serait de montrer que toute matrice non inversible est semblable a une matrice nilpotente. Après , je ne sais pas si c'est toujours faisable , je vais voir ce que cela donne !!
Peu importante l'indice de nilpotence, on veut pouvoir construire une matrice nilpotente de rang r quelconque avec r < n et c'est bien possible et pas très dur, il suffit de mettre des 0 et des 1 là où il faut dans la matrice.
Mince j'ai supprimé le message, je savais pas que tu avais répondu si vite ..
Oui, j'avais essayé de les faire à la main ces matrices, en mettant des . et des 1 aux bonnes places, j'avais pas réussi :mur: j'ai pris n=3 par exemple ,J'ai fini par trouver un truc acceptable, mais faut différencier le cas pair et le cas impair.