Déterminant (question cours)

[Minineutron]

Bonjour, il y a quelque chose que je ne comprends pas dans mon cours:

"On appelle déterminant dans la base B et on note detB l'unique forme n-linéaire antisymétrique sur E telle que deB(e1,..,en)=1; B=(e1,...,en)"

Pourquoi le déterminant d'une base est égal à 1? Je ne comprends pas, pour une matrice de dim2, on a ad-bc, enfin j'comprends pas trop...

[gigamesh]

Bonjour,
on appelle déterminant dans une base B ....

Du coup le déterminant de ta base de R² ie (1;0) (0;1) est bien trouvé avec ad-bc, mais avec a=1, b=0, c=0 et d=1. Ce qui fait ...

[Doraki]

C'est parceque quand on écrit une matrice, c'est toujours parceque quelquepart, on pense à une base et on écrit les coordonnées de nos vecteurs dans cette base.

Les formes n-linéaires alternées sont toutes des multiples les unes des autres, donc la valeur d'une forme n-linéaire alternée en un endroit est suffisant pour pouvoir déterminer cette forme n-linéaire alternée toute entière.

Si tu connais rien de particulier dans un espace vectoriel, tu n'as pas UNE forme n-linéaire alternée qui serait plus jolie que toute les autres.

En revanche, si tu connais une base B, alors tu en connais une particulière,
celle qui à n vecteurs x1 ... xn associe le déterminant de la matrice dont les colonnes sont x1 ... xn exprimés dans la base B.
Si B = (e1 ... en), le déterminant de (e1,...,en) dans la base B est alors le déterminant de la matrice identité, c'est à dire 1.
Comme il suffit de connaitre detB(e1,...,en) pour connaitre detB tout entier,
on peut aussi définir detB comme l'unique forme n-linéaire alternée qui vaut 1
en (e1,...,en).