Déterminant, distances entre points et cocyclicité

[Willy89]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer la méthode permettant d'établir le déterminant suivant : Il exprime que 4 points sont cocycliques, et ce en fonction de leurs coordonnées cartésiennes et de leurs distances respectives par rapport à un cinquième point quelconque du plan.

On trouve ce calcul dans de vieux bouquins de géométrie analytique, tels le Dostor, mais les explications y sont elliptiques pour quelqu'un qui se remet aux math après des années d'interruption.

Merci d'avance

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Je n'ai compris la question.
Pourquoi un déterminant ?
Trois points détermine un cercle. Il est donc possible de calculer les coordonnées de son centre et le rayon.
Si 4 points sont cocycliques, ce ne peut être vrai que à une certaine précision près. Donc, si vous écrivez le système pour le résoudre, il est très probable que ce système n'ait pas de solution, donc (sauf erreur de ma part), le déterminant sera nul.
Si en plus, les données précisent la distance de ces points à un cinquième point du plan, je n'imagine pas comment il pourrait y avoir une solution.

Par contre, étant donné qu'il s'agit d'un système avec des valeurs en sur-nombre, la méthode de résolution d'un tel système est celle des moindres carrés. Le principe est le suivant : on dit que la solution est celle qui minimise la somme des carrés des écarts entre la valeur mesurée (les données) et la valeur calculée pour chaque donnée, qui résulte de la solution.
Cette somme est minimale lorsque sa dérivée s'annule.
On établi le système où les inconnues sont les coordonnées du centre.
C'est pas très simple à résoudre.

[Doraki]

Dlzlogic on est en maths. Parfois en maths, il arrive que deux nombres soient égaux. Ehhh oui. Alors arrête de dire que c'est impossible d'avoir deux nombres réels égaux ou d'avoir 3 points alignés.

Willy :
Une équation de cercle est une équation de la forme
a(x²+y²)+bx+cy+d = 0

Si 4 points sont cocycliques, ça veut donc dire qu'il existe 4 réels a,b,c,d (avec a non nul) tels que
les 4 équations soient vérifiées à propos de (x1,y1) (x2,y2) .. (x4,y4).

Maintenant, regarde les 4 vecteurs X = (x1 x2 x3 x4), Y = (y1 y2 y3 y4), Z = (1 1 1 1) et W = (x1²+y1² ... x4²+y4²).
On peut réécrire la cocyclicité des points par "il existe a,b,c,d (avec a non nul) tels que aW+bX+cY+dZ = le vecteur nul".
C'est à dire "la famille (W,X,Y,Z) est liée".
C'est à dire "le déterminant de la matrice dont les colonnes sont W,X,Y,Z, est nul".

Après je sais pas si c'est la matrice dont tu parlais, mais c'est la vision "algèbre linéaire" du problème.

[Willy89]

Le déterminant (qui doit être nul) est le suivant :

1ere colonne = carrés des distances du 5eme pt aux 4 pts cocycliques
2eme colonne = abscisses des 4 pts cocycliques
3eme colonne = ordonnées des 4 pts cocycliques
4eme colonne = 1 1 1 1

Cela vous éclaire-t-il ?

[Dlzlogic]

@ Doraki
Oui, c'est vrai, mais à quoi serviraient la math si c'est pas pour faire de la physique ?