Det(A+X) = detA + detX

[Alpha]

Bonjour,

voilà, ça doit être tout bête, mais je bloque sur cet exo :

Soit une matrice A dans Mn(C) (n>1), vérifiant pour tout X dans Mn(C),
det(A+X)= detA + detX.

Il faut d'abord montrer que detA = 0, puis que A=0.

Pour montrer que detA =0, aucun problème, on a par exemple det(2A)=2detA, 2^n detA = 2detA dont detA=0.

Par contre, je ne vois pas comment montrer que A=0. Peut-être que je suis parti sur une mauvaise piste. J'essayais de le montrer en supposant que A était non nulle et en cherchant une matrice X s'exprimant en fonction de A telle que A+X et X ne soient pas simultanément inversibles...

Bon, puisque det(A+X) = detX pour tout X, en particulier pour tout x complexe non nul, det(A-xIn) = (-x)^n donc est non nul donc A est nilpotente. Mais bon ça ne m'avance pas beaucoup.

Merci pour votre aide. :)

[Alpha]

Ok ça m'a l'air bon. :happy3:

Merci et bravo! :++:

[aviateurpilot]

une autre solution,

si .
soit le polynome
il est clair que , donc
et on a (car )
donc .
et on a (contradiction)

d'ou
sauf erreur.

[SimonB]

Les deux solutions sont justes. Ce très joli exercice est exposé dans le très joli livre de Rached Mneimné, "Réduction des endomorphismes", que je conseille à toutes les personnes que ça intéresse. :)
Suite de l'exercice : si c'est pour tout X dans Mn(R), et non plus dans Mn(C), montrer que le résultat est toujours juste.
Suite de l'exercice version hardcore : si c'est pour tout X dans Mn(Z), montrer que le résultat est toujours juste !

[aviateurpilot]

Les deux solutions sont justes. Ce très joli exercice est exposé dans le très joli livre de Rached Mneimné, "Réduction des endomorphismes", que je conseille à toutes les personnes que ça intéresse.
Suite de l'exercice : si c'est pour tout X dans Mn(R), et non plus dans Mn(C), montrer que le résultat est toujours juste.
Suite de l'exercice version hardcore : si c'est pour tout X dans Mn(Z), montrer que le résultat est toujours juste !

moi j'ai utilisé seulement
donc, ma démo est valable pour Mn(C,R ou Z)

[kazeriahm]

aviateur tu as aussi pris X=A donc il y a un souci. Isn't it?

[aviateurpilot]

aviateur tu as aussi pris X=A donc il y a un souci. Isn't it?

oui :happy2: j'ai oublié.mais ca ne change rien.
si .
soit le polynome


c'est proprieté sont verifiés dans Mn(C,R ou Z).
on peux dire que (puisque a une infinité de solution qui est l'ensemble )
mais (contradiction)

d'ou

[kazeriahm]

bien non puisque la propriété p(n)=p(0) est fausse, du moins si j'ai bien compris l'énoncé :

A est complexe et verifie quelque soit X a coefficients dans Z, det(A+X)=detA+detX...

[pianozik]

et on a (car )
donc .
et on a (contradiction)

d'ou
sauf erreur.

Je ne vois pas le rapport entre la première ligne et la deuxième, c'est à a dire le passage de pour tout entier n, p(n)=p(0)=1, donc pour tout complexe x, p(x)=1 !!!!!!

[aviateurpilot]

bien non puisque la propriété p(n)=p(0) est fausse, du moins si j'ai bien compris l'énoncé :

A est complexe et verifie quelque soit X a coefficients dans Z, det(A+X)=detA+detX...

oui, dsl j'ai pas fait attention ici :briques:

[aviateurpilot]

Je ne vois pas le rapport entre la première ligne et la deuxième, c'est à a dire le passage de pour tout entier n, p(n)=p(0)=1, donc pour tout complexe x, p(x)=1 !!!!!!

soit
on a a une infinité de solutions car pour tout entier ,
donc
et donc

[pianozik]

oui tu as raison, j'ai tort, lol

[kazeriahm]

p(x)=|xA+In|, pour x non nul, p(x)=x^n|A+1/x*In|=1 pour tout x tel que 1/x est dans Z, donc p est le polynome constant égal à 1 et la solution d'aviateur marche en fait

[SimonB]

Une solution qui marche bien pour tous les cas (la plus courte que j'ai pour le moment, mais elle est due à quelqu'un d'autre :) ) :

supposons A non nulle. Elle possède donc une colonne non nulle, notons la C. Soit X une matrice inversible possédant C comme colonne non nulle (il en existe, il suffit de compléter la famille libre formée par C). On a alors : det(A+X)=0 (colonne nulle), mais det(X)<>0. C'est une contradiction.

[Bouchra]

On prend X possédant -C comme colonne non nulle, c'est ça ?

En tout cas, c'est très joli comme exo et comme soluce !

[aviateurpilot]

Quand tu dis dans ton énoncé : on passe à pour tout X dans Mn(Z), tu sous entendais que A aussi était dans Mn(Z) ou restait dans Mn(C) ?

[SimonB]

Alors je vois pas comment la preuve marche dans tous les cas.

Un délire complet de ma part, vous m'excuserez. Mais ça fonctionne bien pour le cas Mn(C)
C'est bien ce que je pensais : pour Mn(Z), c'est vraiment lourd, comme preuve...

[aviateurpilot]

Une solution qui marche bien pour tous les cas (la plus courte que j'ai pour le moment, mais elle est due à quelqu'un d'autre ) :

supposons A non nulle. Elle possède donc une colonne non nulle, notons la C. Soit X une matrice inversible possédant C comme colonne non nulle (il en existe, il suffit de compléter la famille libre formée par C). On a alors : det(A+X)=0 (colonne nulle), mais det(X)0. C'est une contradiction.

cette preuve ne marche pas pour tous les cas,
car dans tous les cas est donc une telle colone de ne peux pas etre une colone de si par exemple

[kazeriahm]

l'autre solution marche non? quelqu'un a une idée pour det A =0 ?!

[Alpha]

Dans la solution d'aviateur-pilote, il affirme que p(x) est de degré supérieur ou égal à 1 si A est différente de 0... Mais comment le justifier rigoureusement?