Des pbs de mpsi difficiles

[Anonyme]

Salut,
je suis un taupin, et j'ai rencontré des exercices tres difficiles; svp aidez moi;
merci d 'avance.

I-
le probleme á suivre se centre sur les nombres réels; il est tres 'abstrait' et c'est difficile; je n'ai pas pu le resoudre.

Soit a et b 2 réels strictement positifs et
E= 1/na + 1/mb /, (n,m) appartient á N*^2
1-Montrer que 0=inf (E), et calculer sup(E)
2-Montrer que pr tt k de N* et pr tout > 0 il existe (n,m) de N*^2 tels que :
1/ka<=1/na+1/mb<=1/ka+epsilon

II-
Bonjour, ce probleme de sup MPSI concerne les fonctions réelles, je n'ai pu resoudre que des parties elementaires. S'il vous plait aidez moi, et merci f'avance.
Soit f une fonction de R dans R, telle que :
1- f(1)=1
2-Pour tous reels x et y, f(x+y)=f(x)+f(y)
3-Pour tout x non nul, f(1/x)=1/f(x)
Montrer:
1-f(0)=0, et f impaire
2-Pour tout n de N, f(n)=n
3-Pour tout n de Z, f(n)=n
4-Pour tout q de Q, f(q)=q
5-Qu'on peut utiliser le fait que Q est dense dans R pour montrer que pour tout reel x, f(x)=x.

III-
Soit n un entier positif; montrer que si n=x^2, avec x appartient á Q, alors n=m^2, avec m appartient á N.

[Nicolas_75]

Bonjour,

I-1-Montrer que 0=inf (E), et calculer sup(E)

Applique le cours :
a) 0 est un minorant
b) c'est le plus grand. En effet supposons qu'il existe un minorant eps>0.
On peut trouver m et n tels que 0 < 1/na+1/mb < eps (à toi de les trouver). Contradiction

Je pense que sup(E) = 1/a + 1/b et est atteint.

Nicolas

[Anonyme]

Merci A Nicolas ; mais comment trouver ces n et m ? ( j'ai aucune idée).
Svp aidez moi dans la partie 5 du II.
Merci bien

[Nicolas_75]

Tu veux :
1/na+1/mb < eps
Tu n'as qu'à prendre
1/na < eps/2 et 1/mb < eps/2
Donc n>2/(a.eps) et m>2/(b.eps)
Par exemple
n = 1 + partie entière de 2/(a.eps)
m = 1 + partie entière de 2/(b.eps)

Sauf erreur.

Nicolas

[Anonyme]

Merci á Nicolas pour son assistance.
J 'ai besoin d'aide pour les autres exos, svp. Merci d'avance.

[Nicolas_75]

II-

"Bonjour, ce probleme de sup MPSI concerne les fonctions réelles, je n'ai pu resoudre que des parties elementaires. "
Tu aurais pu dire lesquelles; pour nous éviter de tout refaire, et concentrer notre aide sur ce qui te pose problème...

Soit f une fonction de R dans R, telle que :
1- f(1)=1
2-Pour tous reels x et y, f(x+y)=f(x)+f(y)
3-Pour tout x non nul, f(1/x)=1/f(x)

Montrer:
1-f(0)=0...
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0) donc f(0)=0

... et f impaire
pour tout x,
f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0
donc..

2-Pour tout n de N, f(n)=n
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=1+1=2
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=2+1=3
Tu peux ainsi montrer la propriété voulue par récurrence sur n

3-Pour tout n de Z, f(n)=n
si n est positif, déjà montré dans 2.
si n est négatif :
f(n)=f(-(-n))=-f(-n)=...
(-n positif)
...=-(-n)=n

Sauf erreur.

Nicolas

[Anonyme]

sorry nicolas mais je n'ai pas précisé quelles st ces parties car la seule partie que je n'ai pas pu resoudre cé la 5e. masi on ne peut faire 5 sans avoir fait 1234.
merci