Des éclaircissement sur l'injectivité.

[Spanish030]

Bonjour, en pleine préparation d'une leçon du capes de maths, je pose une question sur l'injectivité d'une fonction réelle à varaible réelle.

Quel est FONDAMENTALEMENT L'INTERET de l'injectivité?
Qu'est ce que ça apporte en dehors du fait qu'elle permet de conclure sur la monotonie ? En fait j'aimerai un cas d'application annexe à l'étude des fonctions pour illustrer mon introduction.

De plus, un fonction discontinue mais prenant toutes les valeurs sur un intervalle I, peut elle etre injective? Formulé autrement, la condition de la continuité pour conclure sur l'injectivité est elle nécessaire? Suffisante?

Merci pour votre aide.

[alavacommejetepousse]

bonjour

une rem tout d abord il me semble que tu te places d 'emblée dans le cadre des fonctions de R dans R
alors que le cadre devrait être plus général

l'injectivité permet de savoir qu 'un problème donné a au plus une solution
quand on est incapable de résoudre explicitement le problème

[XENSECP]

c'est pas faux... et puis les maths c'est pas que de l'intérêt lol

[NICO 97]

De plus, un fonction discontinue mais prenant toutes les valeurs sur un intervalle I, peut elle etre injective? Formulé autrement, la condition de la continuité pour conclure sur l'injectivité est elle nécessaire? Suffisante? .

Bonjour,
Une fonction discontinue peu-être injectice,ou ne pas l'être, mais si tu veux un critére, il faut supposer que f est continue.
Ton "Formulé autrement" me surprend un peu.

[Spanish030]

Bonjour,
Une fonction discontinue peu-être injectice,ou ne pas l'être, mais si tu veux un critére, il faut supposer que f est continue.
Ton "Formulé autrement" me surprend un peu.

Toutes les définitions de l'injectivité (dans le cadre des études de fonction de I dans J, deux intervalles de R) n'indiquent pas que la fonction doit etre continue... Donc il n'est nullement nécessaire que la fonction soit continue pour en conclure qu'elle est injective. non ?
Voilà ce j'entendais par "formulé autrement"...
Ne chipotons pas sur le mode français.... svp...
MERCI

[SimonB]

Donc il n'est nullement nécessaire que la fonction soit continue pour en conclure qu'elle est injective. non ?

Ben non... Il suffit de définir f sur [0,1] par : f(x)=x si x est rationnel et f(x)=1+x si x est irrationnel. f est clairement discontinue partout et également clairement injective...