Dérivés et volume

[LouLou962]

Bonjour,

J'ai fait un exercice, dans lequel j'ai visiblement fait une erreur, mais je ne vois pas où, pouvez-vous m'aider ?

Voici l'exercice :

Les échanges entre une cellule et son environnement s’effectuent via sa membrane et sont proportionnels à la surface de celle-ci. On considère une cellule cylindrique de base un disque de rayon r et de hauteur h.
a) Quel est le volume de la cellule ? Quelle est sa surface ?
b) On suppose que le volume de cette cellule est égal à 1 mm^3 . Quelle est la valeur du rayon r qui permet à la cellule d’avoir la plus petite surface ? (les échanges avec l’extérieur s’effectuant à travers son bord, cela revient à minimiser ces échanges) Quelle est la hauteur correspondante ?

Voici mes réponses :

V = pi.r^2.h
S(r) = 2.pi.r.h + 2.pi.r^2

h = 1/(pi.r^2)

S (r) = 2/r + 2.pi.r^2
S(r)' = -2/(r^2) + 4.pi.r

or on veut r minimal donc <=> S' = 0

-2/(r^2) + 4.pi.r = 0
4.pi.r = 2/(r^2)
4.pi.r^3 = 2
r = racine cubique (2/(4.pi))
r =0,54 mm

et comme h = 1/(pi.r^2) <=> h = 1,09 mm


or dans la correction il y a :

S'(r) < 0
2/(r^2) > 4.pi.r
2.pi.r^3 < 1
r < racine cubique (2pi)
r = 1,85 mm
et h = 0,09 mm

En tout cas merci de prendre le temps de me lire !

[mathelot]

bonsoir,

ton calcul est juste et il y a une erreur dans le corrigé à

2.pi.r^3 < 1
r < racine cubique (2pi)

[Pisigma]

Bonjour,

il y a une erreur dans ta correction ; on a bien



mathelot a été plus rapide que moi

[LouLou962]

Merci beaucoup pour vos réponses !

[Pisigma]

de rien