Dériver une intégrale entre x et 2x

[jade75]

Bonsoir,
J’ai une question qui tracasse depuis que je fais cet exercice :
Pour tout x>0, F(x)=intégrale(e^t/t)dt entre x et 2x.

La question est de prouver que cette fonction est de classe C1 et de calculer F’(x).

Pour montrer que c’est de classe C1, il faut juste dire que e^t/t est continue sur R*+ donc pas de problème jusque là.

Mais la dérivée me semble impossible à calculer car les 2 bornes sont variables. J’aurais plutôt dit que F’(x)=(e^2x/2x)-(e^x/x) mais j’ai l’impression que ce n’est pas ça...

Merci d’avance pour votre réponse, si vous pouvez m’aider s’il vous plaît merci.

[Rdvn]

Bonsoir
Plan de travail :
La fonction f définie sur ]0,+infini[ par f(t) = e^t/t
est continue sur ]0,+infini[
Utilisez la relation de Chasles sur ]0,+infini[
int(x,2x)=int(x,1)+int(1,2x)
donc
int(x,2x)=int(1,2x)-int(1,x)
Tenez compte que pour la borne 2x, vous avez une composition de deux fonctions
Bon courage
(Proposez un essai)

[LB2]

Bonjour,

pour compléter la réponse : si tu notes H une primitive de l'intégrande, F s'exprime comme F(x) = H(2x)-H(x)
Il est alors facile de dériver F (dérivation de fonctions composées)

[jade75]

Ah oui merci c'est très claire, l'astuce de la relation de Chasles c'est plutôt pas mal..

Du coup (j'espère ne pas mettre trompé...) :

F'(x)=(e^2x)/x-e^x/x

Merci beaucoup !

[Rdvn]

C'est la bonne réponse.

Si on veut étudier le signe de F'(x) sur ]0, +infini[ :

Sachant x>0 , F'(x) est du signe de e^2x-e^x=e^x(e^x-1)

Bon courage

[Sylviel]

Je rejoint LB2 : la bonne méthode pour ne pas se tromper quand on veut dériver une intégrale dont les bornes sont variables c'est d'introduire une primitive.

[Rdvn]

Nous sommes bien d'accord
(c'est dans ce sens qu'allait ma première réponse),
mais ne fallait il pas laisser cette initiative à jade 75 ?
Elle a réussi à conclure, me semble-t-il
(peut être un léger manque de justification.

[tournesol]

On a en général

[Rdvn]

Tout ceci est intéressant, mais je pense que la méthode que j'ai indiquée a son intérêt elle aussi, en particulier celui de pouvoir s'étendre (dans une certaine mesure) au cas où la fonction à intégrer est seulement continue par morceaux.
Mais même en en restant à cet exercice, on a le mérite de construire explicitement une primitive H , rejoignant ainsi la solution indiquée par LB2 : il suffit de poser H(x)=int(1,x,f)
(je pense que c'est ce qu'a fait jade75, à la vue de son résultat).
Tout ceci sans complication excessive.
Bonne journée à tous