Dérivées successives

[Al-Kashi]

Bonjour,

J'essaye de répondre à cette question mais je n'y arrive pas.
est une fonction indéfiniment dérivable et qui vérifie: ; et .
Monter que la fonction sinus est l'unique fonction vérifiant les conditions précédentes.

Merci d'avance :we:

[mathelot]

bonjour, étudier la fonction: f-sin()

[Ben314]

Bonjour,

J'essaye de répondre à cette question mais je n'y arrive pas.
est une fonction indéfiniment dérivable et qui vérifie: ; et .
Monter que la fonction sinus est l'unique fonction vérifiant les conditions précédentes.

Merci d'avance :we:

Bizare ton truc,
Déjà, ton ne veut rien dire vu que ni , ni ne sont définis
Ca serait pas plutôt ?

Si c'est bien ça, j'ai un tout petit peu l'impression que la fonction marche avec en plus (donc on ne fera pas mieux en terme de domaine de définition...)

[DamX]

Bizare ton truc,
Déjà, ton ne veut rien dire vu que ni , ni ne sont définis
Ca serait pas plutôt ?

Si c'est bien ça, j'ai un tout petit peu l'impression que la fonction marche avec en plus (donc on ne fera pas mieux en terme de domaine de définition...)

Ca doit surement être pour n positif ou nul, pas n>=2, et dans ce cas sin reste solution et l'identité est exclue (pour les solutions sur R entier, ça resterait bon sur [-1;1]).

[Al-Kashi]

Merci pour vos réponses.
Effectivement, c'est pour tout x dans R et n dans N.

[DamX]

Merci pour vos réponses.
Effectivement, c'est pour tout x dans R et n dans N.

Pour autant, l'énoncé reste faux même avec ces conditions, voici une autre solution qui fonctionne :
on raccorde des demi-paraboles bout-à-bout :



et on définit la fonction f par morceaux :


Ca parait compliqué écrit comme ça mais c'est tout con en faisant un dessin, c'est une "sinusoïde de paraboles" (cela ne veut rien dire mais c'est pour l'image), juste des bouts de paraboles de sens alterné et collés et se raccordant correctement.

la fonction f vérifie bien f(0) = 0, f'(0)=1, les raccordements se font bien tant pour f que pour sa dérivée (et au-delà) donc f est bien C-infini sur R,
|f| est bien majorée par 1 (même par 1/2), |f'| est majorée par 1, et à partir de f" toutes les dérivées ultérieures sont nulles (et donc vérifient la condition de borne).

Bref il n'y a pas que sinus qui vérifie ça.

Damien

[Doraki]

et à partir de f" toutes les dérivées ultérieures sont nulles (et donc vérifient la condition de borne).

euh t'as du rater que f" est constante par morceaux et discontinue (enfin pas définie sur 2Z quoi)

Sinon j'crois que cet exo est passé y'a longtemps je sais plus si ffpower l'avait posé ou l'avait résolu.

[mathelot]

finalement, ça contient une infinité de solutions.

[DamX]

euh t'as du rater que f" est constante par morceaux et discontinue (enfin pas définie sur 2Z quoi)

Sinon j'crois que cet exo est passé y'a longtemps je sais plus si ffpower l'avait posé ou l'avait résolu.

ah oui j'ai loupé ce bout là en route, oups :marteau:

[Al-Kashi]

euh t'as du rater que f" est constante par morceaux et discontinue (enfin pas définie sur 2Z quoi)

Sinon j'crois que cet exo est passé y'a longtemps je sais plus si ffpower l'avait posé ou l'avait résolu.

Très bien vu :lol3: . Apparemment, c'est compliqué de le prouver l'unicité du sinus.

[Al-Kashi]

ah oui j'ai loupé ce bout là en route, oups :marteau:

L'idée était bonne si ce n'est ce petit bout :we: . Merci quand même.

[Al-Kashi]

euh t'as du rater que f" est constante par morceaux et discontinue (enfin pas définie sur 2Z quoi)

Sinon j'crois que cet exo est passé y'a longtemps je sais plus si ffpower l'avait posé ou l'avait résolu.

J'ai envoyé un message à ffpower pour demander de l'aide :help:

[Ben314]

Je sèche...
Le truc assez trivial, c'est qu'on a forcément et qu'il suffirait de montrer que pour conclure...
Aprés, vu la tête de la solution, je supputerais bien qu'il faut faire intervenir la fonction voire mais j'arrive pas à grand chose de concluant...

[jonses]

Salut !

Je m'incruste alors que je sais bien que c'est pas du tout de mon niveau, mais j'avais déjà vu un tel énoncé (je sais plus trop quand, mais c'était il y a un moment) sur ce site

et je crois qu'il y a aussi une démo sur cette page (il faut descendre un peu en bas), mais je suis pas sûr de sa validité pour la simple raison que les arguments utilisés ne sont clairement pas de mon niveau (et le seront jamais d'ailleurs )

[Al-Kashi]

Je sèche...
Le truc assez trivial, c'est qu'on a forcément et qu'il suffirait de montrer que pour conclure...
Aprés, vu la tête de la solution, je supputerais bien qu'il faut faire intervenir la fonction voire mais j'arrive pas à grand chose de concluant...

Un lien m'a été proposé par jones qui propose une solution Voir le lien mais je suis pas sûr qu'il faut utiliser un théorème de Hardy pour répondre à la question.

[Al-Kashi]

Salut !

Je m'incruste alors que je sais bien que c'est pas du tout de mon niveau, mais j'avais déjà vu un tel énoncé (je sais plus trop quand, mais c'était il y a un moment) sur ce site

et je crois qu'il y a aussi une démo sur cette page (il faut descendre un peu en bas), mais je suis pas sûr de sa validité pour la simple raison que les arguments utilisés ne sont clairement pas de mon niveau (et le seront jamais d'ailleurs )

Salut,

Merci bcp pour le lien. La démonstration fait appel à un théorème de Hardy de l'analyse complexe, mais je ne sais pas s'il a fallu faire tout ça :hein: !!!

[BiancoAngelo]

Pour avoir cherché de mon côté, il serait intéressant aussi de pouvoir montrer que x -> 2 * f(x/2) * f'(x/2) est solution du problème si f est solution du problème.

En effet, sin(2x) = 2 sin (x) cos( x).

On montre très facilement que les conditions initiales sont vérifiées.
Le problème vient alors de montrer que les dérivées sont bornées. Et je n'ai pas encore trouvé.


Sinon, si on pouvait montrer qu'on a nécessairement f''(x) = - f(x), sin est la solution (grâce aux conditions initiales).

En espérant avoir apporté quelque chose !

[Al-Kashi]

Bonsoir,

La fonction n'est pas une solution. En effet, et .

Bonne soirée.

[Ben314]

Certes, sauf que bianco parle de

...de pouvoir montrer que x -> 2 * f(x/2) * f'(x/2) est solution du problème si f est solution du problème.

qui, si f(x)=sin(x), est la fonction 2sin(x/2)cos(x/2) qui est égale à... sin(x)...

[ffpower]

Bonjour,

J'intervient suite au MP de Al-Kashi. Je connais effectivement des résolutions de l'exercice, parues dans une RMS. Mais elles sont cependant un peu tricky...La premiere est + ou - la demo en lien utilisant la formule de Hardy.

La seconde est élémentaire á une utilisation de Ascoli prés. Elle suit de trés prés l'intuition de Ben:

Je sèche...
Le truc assez trivial, c'est qu'on a forcément et qu'il suffirait de montrer que pour conclure...
Aprés, vu la tête de la solution, je supputerais bien qu'il faut faire intervenir la fonction voire mais j'arrive pas à grand chose de concluant...

Le premier pas de la preuve consiste á montrer que si f est une fonction C^infinie dont toutes les derivees sont inferieures á 1, alors f^2+f'^2<1 sur R.

Pour ce faire, notant E l'ensemble des fonctions dont toutes les dérivées sont <1, on utilise Ascoli pour dire que pour un reel c donné, on peut choisir f dans E tel que f(c)^2+f'(c)^2 soit maximal, puis étudier les propriétés de f.

Bonne chance si tu cherches encore..Il y a des idées intéressantes sur ce topic en tout cas.