Dérivées partielles d'une fonction à deux variables

[matlogan05]

Bonsoir à tous, je suis bloqué un peu, en tout cas pas sûr de mon raisonnement car je ne comprends pas encore vraiment le chapitre sur la différentiabilité, je manque d'automatisme.
Voici l'énoncé:

Après avoir justifié leurs existences, déterminer les dérivées partielles de la fonction suivante :

f(x,y)= x²sin(y/x) si x non nul
f(x,y) = 0 si x nul

Ce que j'ai fait:
Si x est non nul, les dérivées partielles existent avec : df/dx= 2xsin(y/x) - ycos(y/x)
df/dy= xcos(y/x). On remarque que ces dérivées existent ssi x non nul. Mais comment justifier avant les calculs, l'existence de ces dérivées?

Cas x=0
J'ai montré que lim ((f(h,y) - f(0,y))/h) = 0 quand h tend vers 0 (en passant par la valeur absolue)
Donc df/dy(0,y) = 0 ?


Pour les dérivées partielles d'ordre 2, comment faire ? Elles n'existent que si x est non nul si j'ai bien compris ?
Merci pour votre aide.

[Sourire_banane]

Bonsoir à tous, je suis bloqué un peu, en tout cas pas sûr de mon raisonnement car je ne comprends pas encore vraiment le chapitre sur la différentiabilité, je manque d'automatisme.
Voici l'énoncé:

Après avoir justifié leurs existences, déterminer les dérivées partielles de la fonction suivante :

f(x,y)= x²sin(y/x) si x non nul
f(x,y) = 0 si x nul

Ce que j'ai fait:
Si x est non nul, les dérivées partielles existent avec : df/dx= 2xsin(y/x) - ycos(y/x)
df/dy= xcos(y/x). On remarque que ces dérivées existent ssi x non nul. Mais comment justifier avant les calculs, l'existence de ces dérivées?

Cas x=0
J'ai montré que lim ((f(h,y) - f(0,y))/h) = 0 quand h tend vers 0 (en passant par la valeur absolue)
Donc df/dy(0,y) = 0 ?


Pour les dérivées partielles d'ordre 2, comment faire ? Elles n'existent que si x est non nul si j'ai bien compris ?
Merci pour votre aide.

Salut,

Ben pour justifier l'existence des dérivées, il faut considérer les applications partielles en x ou en y et les voir comme des fonctions d'une seule variable et à partir de là, il est aisé de vérifier la dérivabilité de chaque application par un argument simple (somme, différence, quotient, produit ou que sais-je de fonction dérivables, pas de problèmes en les bornes de l'intervalle, etc.).
Après je pense que tu t'es trompé(e) pour df/dx, en ce qui concerne le deuxième terme. Dérive sin(y/x) par rapport à x pour voir.

[matlogan05]

Salut,

Ben pour justifier l'existence des dérivées, il faut considérer les applications partielles en x ou en y et les voir comme des fonctions d'une seule variable et à partir de là, il est aisé de vérifier la dérivabilité de chaque application par un argument simple (somme, différence, quotient, produit ou que sais-je de fonction dérivables, pas de problèmes en les bornes de l'intervalle, etc.).
Après je pense que tu t'es trompé(e) pour df/dx, en ce qui concerne le deuxième terme. Dérive sin(y/x) par rapport à x pour voir.

Merci pour ta réponse. Alors pour montrer l'existence je parle de composée et produit de ce type.

Concernant la dérivée par rapport à x, je ne vois pas l'erreur ?
la dérivée de sin(y/x) = -1/x²cos(y/x) ?
Et comme (uv)'= u'v + uv' on a bien ce que j'ai trouvé non ?

[Sourire_banane]

Merci pour ta réponse. Alors pour montrer l'existence je parle de composée et produit de ce type.

Concernant la dérivée par rapport à x, je ne vois pas l'erreur ?
la dérivée de sin(y/x) = -1/x²cos(y/x) ?
Et comme (uv)'= u'v + uv' on a bien ce que j'ai trouvé non ?

En effet autant pour moi !