Dérivée, somme de dérivées et tout le reste

[Science]

Bonjour, j'aimerais avoir un peu d'aide sur cet exercice :
soit f une fonction de [0,1] dans R, de classe C1 vérifiant f(0)=0 et f(1)=1. Démontrer qu'il existe pour tout n supérieur à 1, 0f'(x1)+...+f'(xn)=n.

J'ai commencé avec une récurrence mais pour l'instant ca me mène nulle part.
Merci de votre aide

Cordialement

Science

[Ben314]

Salut,
Déjà, il y a une erreur dans ton énoncé vu que la fonction la plus simple qui vérifie tes hypothèses, à savoir la fonction identiquement nulle ne vérifie pas ta conclusion.

Ca ne serait pas plutôt f'(x1)+...f'(xn)=0 par hasard ?

[Ben314]

Salut,
Et si tu applique le T.A.F. à [0,1/n] puis à [1/n,2/n] puis.... puis à [(n-1)/n,n/n], ça donne quoi ?

[Science]

Salut,

Ca marche pour n=1. Le problème c'est que rien ne te dit que x2 (qui appartient donc à ]1/2,1[ ) est plus que x1 (qui appartient à ]0,1[). Après on a bien effectivement f'(x1)=1. Mais je sais pas comment continuer.

[Ben314]

Et si tu ne fait pas une récurrence, mais que tu applique le T.A.F. à [0,1/n] puis à [1/n,2/n] puis.... puis à [(n-1)/n,n/n], ça donne quoi ?

[Science]

Et si tu ne fait pas une récurrence, mais que tu applique le T.A.F. à [0,1/n] puis à [1/n,2/n] puis.... puis à [(n-1)/n,n/n], ça donne quoi ?

ca donne que il existe x1 dans ]0,1[ tel que f'(x1)(1-0)=f(1)-f(0)
Puis il existe x2 dans ]1/2,1[ tel que f'(x2)(1-1/2)=f(1)-f(1/2)

Mais je vois pas où tu veux ne venir

[Ben314]

ca donne que il existe x1 dans ]0,1[ tel que f'(x1)(1-0)=f(1)-f(0)
Puis il existe x2 dans ]1/2,1[ tel que f'(x2)(1-1/2)=f(1)-f(1/2)

ou qu'il est le n dans ton truc ?

Si tu as pris comme exemple n=2 alors, ce que je te suggérais de faire :

...applique le T.A.F. à [0,1/n] puis à [1/n,2/n] puis.... puis à [(n-1)/n,n/n], ça donne quoi ?

ben pour n=2 ça veut dire :

...applique le T.A.F. à [0,1/2] puis à [1/2,1], ça donne quoi ?

et je vois pas le rapport avec ce que tu as fait !!!

[Science]

ou qu'il est le n dans ton truc ?

Si tu as pris comme exemple n=2 alors, ce que je te suggérais de faire :ben pour n=2 ça veut dire : et je vois pas le rapport avec ce que tu as fait !!!

Je vois maintenant il existe x1 dans ]0,1/2[ tel que f'(x1)(1/2-0)=f(1/2)-f(0)
il existe x2 dans ]1/2,1[ tel que f'(x2)(1-1/2)=f(1)-f(1/2)

En additionnant on a (1/2)(f'(x1)+f'(x2))=f(1)-f(0)
donc f'(x2)+f'(x1)=2 car f(1)=1-f(0)=1
Et on a forcément x2>x1.

Merci