Dérivée de sin et cos

[azf]

Bonjour

À présent le terme magique sera pour vous le terme "formules trigonométriques"

Par exemple pour cos'=-sin proposition de démonstration non rigoureuse

[Black Jack]

Bonjour,

Par exemple : f(x) = sin(x)

f(x+h) = sin(x+h)

f(x+h) - f(x) = sin(x+h) - sin(x) (se rappeler ou redémontrer que sin(a) - sin(b) = 2*cos((a+b)/2) * sin((a-b)/2) ---->)

f(x+h) - f(x) = 2*cos((x+h+x)/2) * sin((x+h-x)/2)

f(x+h) - f(x) = 2*cos(x + h/2) * sin(h/2)

(f(x+h) - f(x))/h = (2*cos(x + h/2) * sin(h/2))/h

lim(h--> 0) [(f(x+h) - f(x))/h] = sin'(x) = lim(h--> 0) [(2*cos(x + h/2) * sin(h/2))/h] = lim(h--> 0) [cos(x + h/2) * sin(h/2)/(h/2)] = cos(x) * 1 = cos(x)
*****

[GaBuZoMeu]

Sans parole :

[GaBuZoMeu]

Lazare, ne sais-tu pas que la tangente au cercle est perpendiculaire au rayon ?
C'est tout ce qu'utilise mon petit crobard pour "montrer" que, pour un petit accroissement dx de l'angle, le petit accroissement d(sin(x)) du sinus vaut cos(x)*dx.

[GaBuZoMeu]

Je l'ai écrit : c'est un petit accroissement de l'angle. Et comme tu le sais, l'angle est égal à la longueur de l'arc de cercle unité qu'il découpe (comptée négativement si on va dans le sens des aiguilles d'une montre).
C'est le mot "accroissement" que tu ne comprends pas ?

Mon dessin illustre une justification "à la physicienne" du fait que la dérivée de sin (limite du rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement de la variable, quand celui-ci tend vers 0) est cos. L'accroissement dx de l'angle est suffisamment petit pour qu'on confonde le petit arc de cercle avec un segment de la tangente.

[Black Jack]

Bonjour,

Par exemple : f(x) = sin(x)

f(x+h) = sin(x+h)

f(x+h) - f(x) = sin(x+h) - sin(x) (se rappeler ou redémontrer que sin(a) - sin(b) = 2*cos((a+b)/2) * sin((a-b)/2) ---->)

f(x+h) - f(x) = 2*cos((x+h+x)/2) * sin((x+h-x)/2)

f(x+h) - f(x) = 2*cos(x + h/2) * sin(h/2)

(f(x+h) - f(x))/h = (2*cos(x + h/2) * sin(h/2))/h

lim(h--> 0) [(f(x+h) - f(x))/h] = sin'(x) = lim(h--> 0) [(2*cos(x + h/2) * sin(h/2))/h] = lim(h--> 0) [cos(x + h/2) * sin(h/2)/(h/2)] = cos(x) * 1 = cos(x)
*****

Ok. Du coup. comment demontrer que sin(a) - sin(b) = 2*cos((a+b)/2) * sin((a-b)/2) ?

Gabuzomeu et azf j'ai du mal à vous suivre.

Par exemple comme sur ce lien (avec plein d'autres relations démontrées) :

http://wallon2009.free.fr/fichiers/demo ... _trigo.pdf

[Black Jack]

lim(h--> 0) [cos(x + h/2) * sin(h/2)/(h/2)] = cos(x) * 1 = cos(x)

si j'éssaye de déveloper ça:
lim(h--> 0)[cos(x + h/2) * sin(h/2)/(h/2)]
ça me donne

cos(x+0)*sin(0)/(un truc infiniment petit...)

donc

cos(x)*1/(un truc infiniment petit...)

donc

cos(x)*(l'infini)

ce qui n'est pas égal à cos(x)

Aie aie aie.

On a du te dire que lim(x-->0) sin(x)/x = 1

et que donc : lim(h --> 0) [sin(h/2)/(h/2)] = 1

En secondaire, c'est admis sans démo, en supérieur on peut le démontrer... si c'est demandé.
La manière la plus rapide est la règle de Lhospital (génial Marquis)

[GaBuZoMeu]

La manière la plus rapide est la règle de Lhospital (génial Marquis)

Sauf qu'on est justement en train de se demander comment montrer que la dérivée de est .... ça me paraît alors un peu tourner en rond.

[Black Jack]

Aie aie aie.

On a du te dire que lim(x-->0) sin(x)/x = 1

et que donc : lim(h --> 0) [sin(h/2)/(h/2)] = 1

En secondaire, c'est admis sans démo, en supérieur on peut le démontrer... si c'est demandé.
La manière la plus rapide est la règle de Lhospital (génial Marquis)

Oula je vois pas comment tu fais pour expliquer ça. Ça me semble completement illogique

Illogique ... pas du tout, il y a plusieurs types d'indéterminations dans le calcul des limites (0/0 ; oo/oo ; 0 * oo ; oo - oo)

Et il y a évidemment diverses possibilités pour lever ces indéterminations.

Celle utilisée ici , soit lim(x-->0) (sin(x)/x) = 1 est enseignée dès le secondaire (où elle est en général admise sans démo) et peut être démontrée (par exemple en supérieur) de multiples manières.

Sur ce lien : https://sites.uclouvain.be/mema/dedrama ... -texte.pdf

Il y a plusieurs démos pour cette limite.

C'est en tous cas une limite qu'on ne peut pas oublier ... on la retrouve dans une multitude d'exercices.