Dérivée de polynome

[pluie2]

Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide pour cet exercice de polynomes :

Au polynome P, on associe le polynome: Q_p(X)=(3X+8)P(X)+(X²-5X)P'(X)-(X^3-X²)P"(X)

1. Comparer, lorsque P est non nul, le degré de P et celui de Q_p
2. Que vaut P lorsque Q_p est le polynome nul?
3. Trouver les couples (a,P) où a est un nombre réel, P un polynome réel tels que Q_p=aP.

j'ai fait :

1. si P a pour degré1, alors Q_p a pour degré 2 donc si P a pour degré n alors Q_p aura pour degré n+1.
2. On résous : (3X+8)P(X)+(X²-5X)P'(X)-(X^3-X²)P"(X)=0
si je résonne sur les degrés, deg(P')=deg(P)-1 et deg(P")=deg(P)-2 donc : deg(3X+8)+deg(P)+deg(X²-5X)+deg(P)-1-deg(X^3-X²)-degP+2=0
deg(P)+1=0 donc deg(P)=-1 ??

étrange

merci de m'aider et notamment pour la c)

[Manny06]

Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide pour cet exercice de polynomes :

Au polynome P, on associe le polynome: Q_p(X)=(3X+8)P(X)+(X²-5X)P'(X)-(X^3-X²)P"(X)

1. Comparer, lorsque P est non nul, le degré de P et celui de Q_p
2. Que vaut P lorsque Q_p est le polynome nul?
3. Trouver les couples (a,P) où a est un nombre réel, P un polynome réel tels que Q_p=aP.

j'ai fait :

1. si P a pour degré1, alors Q_p a pour degré 2 donc si P a pour degré n alors Q_p aura pour degré n+1.
2. On résous : (3X+8)P(X)+(X²-5X)P'(X)-(X^3-X²)P"(X)=0
si je résonne sur les degrés, deg(P')=deg(P)-1 et deg(P")=deg(P)-2 donc : deg(3X+8)+deg(P)+deg(X²-5X)+deg(P)-1-deg(X^3-X²)-degP+2=0
deg(P)+1=0 donc deg(P)=-1 ??

étrange

merci de m'aider et notamment pour la c)

il faudrait d'abord verifier que le coefficient de X^(n+1) n'est pas nul
or il est égal à (n+1)(3-n)an

[pluie2]

donc exclure les n pour lequel (n+1)(3-n)an=0?

[deltab]

Bonsoir

Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide pour cet exercice de polynomes

Il me semble déjà que tu as oublié les propriétés du degré, tu es sur que .

[pluie2]

non ça serait plutot deg(RS)=deg(R)+deg(S)
jej me suis trompée
ici c'est deg(R+S)<=max(deg P,deg Q) donc ici
deg(P')=deg(P)-1 et deg(P")=deg(P)-2 donc : deg(P)++deg(P)-1-degP+2=0

[deltab]

non ça serait plutot deg(RS)=deg(R)+deg(S)
jej me suis trompée
ici c'est deg(R+S)<=max(deg P,deg Q) donc ici
deg(P')=deg(P)-1 et deg(P")=deg(P)-2 donc : deg(P)+deg(P)-1-degP+2=0

Quel est le dégré du polynôme nul?
Si l'on pose
alors




Cette égalité correspond bien pour toi à

[pluie2]

mais je pense que ce que j'ai érit est faux.

le degré du polynome nul est 0

[deltab]

Bonsoirr

mais je pense que ce que j'ai érit est faux.
Le degré du polynome nul est 0

Commences par revoir la définition du degré d'un polynôme.
deg(R+S+T) <=max{deg((R),deg((S),deg((T)}

[pluie2]

bonjour, si je comprends bien dans cette définition, il faut que je "choisisse" le plus grand degré des 3 et donc ensuite que je teste avec des degrés inférieurs à celui choisi ?

ici : deg(R+S+T) <=max{deg((R),deg((S),deg((T)}=deg(R3) mais le problème c'est que dg(P")=degP-2 donc comment faire pour trouver le max sans autres indications?

[deltab]

Bonjour.

bonjour, si je comprends bien dans cette définition, il faut que je "choisisse" le plus grand degré des 3 et donc ensuite que je teste avec des degrés inférieurs à celui choisi ?

ici : deg(R+S+T) <=max{deg((R),deg((S),deg((T)}=deg(R3) mais le problème c'est que dg(P")=degP-2 donc comment faire pour trouver le max sans autres indications?

On est à la question 2) où
Même si on détermine le max des trois, on n'a pas l'égalité =
Il se trouve qu'ici car .
En posant , les termes de plus degré de sont alors respectivement . On aura ainsi d'où (. Les degrés à chercher doivent vérifier l'équation . Cette équation admet-elle des racines entières? En répondant à cette question, tu pourras déterminer les solutions de

[Manny06]

Bonjour.

On est à la question 2) où
Même si on détermine le max des trois, on n'a pas l'égalité =
Il se trouve qu'ici car .
En posant , les termes de plus degré de sont alors respectivement . On aura ainsi d'où (. Les degrés à chercher doivent vérifier l'équation . Cette équation admet-elle des racines entières? En répondant à cette question, tu pourras déterminer les solutions de

j'avais déjà indiqué ce résultat et donné la factorisation le 15 à 19h08

[deltab]

Bonjour.

j'avais déjà indiqué ce résultat et donné la factorisation le 15 à 19h08

Je suis entièrement d'accord mais tu as laissé passer l'erreur concernant le degré d'une somme ou différence de polynômes, ce qui est grave pour moi vu le résultat qu'il a donné, il a utilisé les 2 formules fausses deg(R+S)=deg(R)+deg(S), deg(R-S)=deg(R)-deg(S) et et dans ce sens que j'avais continué la discussion et étais amené à redonner ton résultat. C'est ton résultat et je n'en réclames pas la paternité

[Manny06]

Bonjour.

Je suis entièrement d'accord mais tu as laissé passer l'erreur concernant le degré d'une somme ou différence de polynômes, ce qui est grave pour moi vu le résultat qu'il a donné, il a utilisé les 2 formules fausses deg(R+S)=deg(R)+deg(S), deg(R-S)=deg(R)-deg(S) et et dans ce sens que j'avais continué la discussion et étais amené à redonner ton résultat. C'est ton résultat et je n'en réclames pas la paternité

pas de problème!!

[pluie2]

oui les racines sont 3 et -1 donc le degré de Q est de degré 3 nécessairement?

[deltab]

Bonsoir.

oui les racines sont 3 et -1 donc le degré de Q est de degré 3 nécessairement?

1) n'est nulle part définie et n'est donc pas un polynôme, je peut interpréter (donc interprétation personnelle) Q comme une application de \matbb{R}[X] dans lui-même où on a posé , c'est qui est un polynôme.
2) On avait posé , ce n'est pas
3) On est arrivé à la condition nécessaire (mais non suffisante) . Il reste à trouver parmi les polynômes de degré 3 ceux qui sont effectivement solutions de . On procède par la méthode des coefficients indéterminés pour trouver P(X) donc poser , etc .............................

[pluie2]

je trouve ceci après développement :

2ax^3+4cx²+(3d+3c)x+8d=0

par identification, je trouve : 2a=a ; 4c-b=0;3d+2c=0 et 8d=d donc a=0 d=0c=0 et b=0??

c'est impossible où ai je pu me tromper? dans le système?

[deltab]

Bonjour.

je trouve ceci après développement :

2ax^3+4cx²+(3d+3c)x+8d=0

par identification, je trouve : 2a=a ; 4c-b=0;3d+2c=0 et 8d=d donc a=0 d=0c=0 et b=0??

c'est impossible où ai je pu me tromper? dans le système?

Quand on a posé , . Le fait que tu trouves a=0 prouve que tu as fait des erreurs de calculs quelque part, il fallait refaire le calcul de Q_P(X).
Si , pourquoi tu identifies à alors qu'il fallait l'identifier au polynôme nul.

[pluie2]

mais si je dois l'identifier au polynome nul, faut il écrire 2a=0 4c=0 3d+3c=0 et 8d=0?

[deltab]

Bonjour

mais si je dois l'identifier au polynome nul, faut il écrire 2a=0 4c=0 3d+3c=0 et 8d=0?

OUI, mais c'est l'expression de qui est fausse. Pourquoi n'as-tu pas refait les calculs et résolu le système?

[pluie2]

car je ne retrouve pas mon erreur

j'ai pourtant faiti ceci : (3X+8)(aX^3+bX²+cX+d)+(X²-5X)(3aX²+2bX+c)-(X^3-X²)(6aX+2b)

je ne comprends pas pourquoi on ne peut pas partir de la