Dérivée n(ième)

[Victhemath]

Bonjour, j'ai une équation f tel que, f est dérivable sur les réels positifs tel que :

f'(x)=f(1/(4x))

Je trouve par récurrence une dérivée n(ième) de la forme :

f dérivée n fois * (1/(4x))(n*((1/(4x))dérivée n-1 fois))

Est-ce quelque chose de ce genre ou je suis-je totalement trompé ?

[pokkk]

Salut Victhemath,

Je crois que j'obtiens un résultat différent du tiens.

f'(x)=f(1/4*x)

f''(x) = ( f'(x) )' = ( f(1/4*x) )' = ( f(u) )' = u'*f(1/4*u) = 1/4*f(1/16*x)

f'''(x) = ( f''(x) )' = ( 1/4*f(1/16*x) )' =1/4*( f(v) )' = 1/4*v'*f'(v) = 1/4*1/16*f(1/4*v) = 1/4*1/16*f(1/64*x)

Donc à mon avis la dérivée n-ième de cette fonction est de la forme :

f dérivé n fois = 1/4 * 1/16 * ... * 1/4^(n-1) * f( 1/4^n * x )

Ce qui donne : f dérivé n fois = 1/4^( (n-1)*n/2 ) * f( 1/4^n * x)

[Victhemath]

Salut Victhemath,

Je crois que j'obtiens un résultat différent du tiens.

f'(x)=f(1/4*x)

f''(x) = ( f'(x) )' = ( f(1/4*x) )' = ( f(u) )' = u'*f(1/4*u) = 1/4*f(1/16*x)

f'''(x) = ( f''(x) )' = ( 1/4*f(1/16*x) )' =1/4*( f(v) )' = 1/4*v'*f'(v) = 1/4*1/16*f(1/4*v) = 1/4*1/16*f(1/64*x)

Donc à mon avis la dérivée n-ième de cette fonction est de la forme :

f dérivé n fois = 1/4 * 1/16 * ... * 1/4^(n-1) * f( 1/4^n * x )

Ce qui donne : f dérivé n fois = 1/4^( (n-1)*n/2 ) * f( 1/4^n * x)

Dans la ligne en rouge, u=1/(4x)
La dérivée u' est pas 1/4 il me semble, c'est surement ma compréhension de l'étape qui cloche...

[Ben314]

f'(x)=f(1/4x)

Le problème est, comme beaucoup trop souvent à mon gout de savoir ce qu'a voulu dire Victhemath avec son 1/4x.
Normalement (voir collège ou même primaire), les opérations se font de gauche à droite (Par exemple dans 9 - 4 - 2, on commence par faire 9 - 4 et surtout pas 4 - 2 !!!)
Donc dans 1/4x , il n'y a aucune ambigüité, ca veut dire que l'on part de 1, puis qu'on divise par 4, puis qu'on multiplie le résultat par x ce qui nous fait .
Sauf que le "correcteur" qui réfléchis un temps soit peu risque de se demander pourquoi le "questionneur" n'a pas écrit x/4 à la place ?

Donc c'est quoi ton 1/4x ?

[Victhemath]

Le problème est, comme beaucoup trop souvent à mon gout de savoir ce qu'a voulu dire Victhemath avec son 1/4x.
Normalement (voir collège ou même primaire), les opérations se font de gauche à droite (Par exemple dans 9 - 4 - 2, on commence par faire 9 - 4 et surtout pas 4 - 2 !!!)
Donc dans 1/4x , il n'y a aucune ambigüité, ca veut dire que l'on part de 1, puis qu'on divise par 4, puis qu'on multiplie le résultat par x ce qui nous fait .
Sauf que le "correcteur" qui réfléchis un temps soit peu risque de se demander pourquoi le "questionneur" n'a pas écrit x/4 à la place ?

Donc c'est quoi ton 1/4x ?

Tu as tout à fait raison, la faute me revient, j'aurais du écrire :

1/(4x) la prochaine fois, je ferai attention à ce que j'écris !

[Ben314]

Sinon, concernant l'exo., tu vérifie que f est solution de l'équa.diff. qu'on sait résoudre et tu en déduit à la fin que les solutions sont les où est une constante quelconque.