soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b]
on suppose f dérivable à gauche en tout point de ]a, b]
1/ si
2/ si on remplace "à gauche" par 'à droite" a-ton le même résultat ?
Dérivée à gauche, à droite
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dérivée à gauche, à droite
par zygomatique » 23 Déc 2015, 16:09
salut
soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b]
on suppose f dérivable à gauche en tout point de ]a, b]
1/ si
pour tout x dans ]a, b] peut-on conclure que f est croissante ? (et comment le démontrer simplement !!!)
2/ si on remplace "à gauche" par 'à droite" a-ton le même résultat ?
soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b]
on suppose f dérivable à gauche en tout point de ]a, b]
1/ si
2/ si on remplace "à gauche" par 'à droite" a-ton le même résultat ?
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
par MouLou » 23 Déc 2015, 16:23
Je pense que c'est vrai, je ne me suisp as trop soucié du fait qu'on prenne ]a,b].
S'il existe un intervalle I que je vais supposer, inclus dans ]a,b] sur lequel f est décroissante, alors si
à l'intérieur, pour tout 
, -f(x_{0}}{x-x_{0}}\leq 0)
, puis en passant à la limite, 
.
En fait quand j'y pense je m'en fiche de la condition ]a,b], tant que je peux prendre
dans l'intérieur de I, il sera forcément intérieur à ]a,b].
Resterait à montrer qu'une fonction qui n'est pas sur un intervalle est forcément décroissante sur un sous intervalle.
J'éspère n'avoir pas dit de bétise
S'il existe un intervalle I que je vais supposer, inclus dans ]a,b] sur lequel f est décroissante, alors si
En fait quand j'y pense je m'en fiche de la condition ]a,b], tant que je peux prendre
Resterait à montrer qu'une fonction qui n'est pas sur un intervalle est forcément décroissante sur un sous intervalle.
J'éspère n'avoir pas dit de bétise
par arnaud32 » 23 Déc 2015, 16:37
tu fixes xo dans ]a,b]
A={t [a,xo[ | f(t)>=f(xo)}
z=sup A
tu as z < xo sinon f'g(xo)=<0
A={t [a,xo[ | f(t)>=f(xo)}
z=sup A
tu as z < xo sinon f'g(xo)=<0
par arnaud32 » 23 Déc 2015, 16:53
tu fixes xo dans ]a,b]
A={t [a,xo[ | f(t)>=f(xo)}
si A est non vide:
z=sup A
tu as z < xo sinon f'g(xo)=<0
tu as de plus f(z)=f(xo) sinon la continuite de f entraine que l'on peut trouver s>0 tq f(x)>f(xo) sur [z,z+s]
on considere alors l'inf de f sur [z,xo] compact non vide, donc atteint en un point y
a gauche de y tu as (f(y)-f(x))/(y-x)<0 ce qui te mene a f'g(y)=<0 (absurde)
donc A est vide
A={t [a,xo[ | f(t)>=f(xo)}
si A est non vide:
z=sup A
tu as z < xo sinon f'g(xo)=<0
tu as de plus f(z)=f(xo) sinon la continuite de f entraine que l'on peut trouver s>0 tq f(x)>f(xo) sur [z,z+s]
on considere alors l'inf de f sur [z,xo] compact non vide, donc atteint en un point y
a gauche de y tu as (f(y)-f(x))/(y-x)<0 ce qui te mene a f'g(y)=<0 (absurde)
donc A est vide
par zygomatique » 23 Déc 2015, 17:39
merci arnaud32 .... :we:
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
par Kolis » 23 Déc 2015, 17:52
zygomatique a écrit:salut
soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b]
on suppose f dérivable à gauche en tout point de ]a, b]
1/ si
2/ si on remplace "à gauche" par 'à droite" a-ton le même résultat ?
SI on connait l'inégalité des accroissements finis sous la forme faible "existence d'une dérivée à droite" et "continuité", c'est assez facile.
Ce théorème est : soit
Résultat analogue en remplaçant "à droite" par "à gauche".
par Ben314 » 23 Déc 2015, 19:42
Perso, j'aurais considéré 
Sauf erreur, si
et que )
existe, alors il est négatif.
C'est assez proche de ce que propose Arnaud (mais pas tout à fait pareil...)
Sauf erreur, si
C'est assez proche de ce que propose Arnaud (mais pas tout à fait pareil...)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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