Dérivation sous le signe intégral

[Sake]

Bonjour,

Soit la fonction définie sur par .
Je cherche à savoir s'il est licite d'écrire . Pour cela, il faudrait que je vérifie que pour tout , est intégrable, qu'à tout , la fonction qui à associe est dérivable et que sa dérivée, là où elle existe, est dominée en valeur absolue par une fonction intégrable.

La première hypothèse est vérifiée (c-à-d qu'à non nul donné, on se retrouve avec une gaussienne qui est intégrable car c'est une fonction qui appartient à l'espace de Schwartz). Comment exhiber une fonction intégrable qui domine ?

Merci

[Tuvasbien]

où est une fonction de qui ne dépend pas de . Soit et , alors et la fonction est continue sur (elle vaut en ) et de limite nulle en , elle est donc bornée sur par une constante indépendante de (et même de quitte à augmenter ). Par suite qui est intégrable sur car .

[Sake]

Merci Tuvasbien, cela fait sens