Dérivation dans C

[barbu23]

Bonsoir à tous,

Soit une fonction complexe définie sur par : .
Quelle est la différentielle de dans ?

Merci d'avance. :happy3:

[Doraki]

Tu peux donner une définition de "z^i" ?

[barbu23]

Moi, je ne sais pas. Comment on peut la définir par exemple ?

[capitaine nuggets]

Tu peux donner une définition de "z^i" ?

Je me suis déjà posé ce genre de question sans avoir encore pu suivre le cours sur les fonctions holomorphes (Je ne suis pas sûr, mais je crois qu'on se ramène à des séries entières pour montrer des résultats sur la dérivation dans ).

A l'époque, je me suis dit ceci :
On a bien définie l'exponentielle complexe : avec réel.
Du coup, il faudrait définir un "logarithme" complexe. Mais c'est pas évident...

Un point intéressant que j'ai pu observer, c'est qu'en considérant et en remplaçant les formules du cos et sin par celles d'Euler, on a de la dérivation complexe.
Après, je ne m'y connais absolument, juste que ça m'intéresse aussi :++:

Entre autre, je me suis demandé si existait et si oui, que vaut-il ?

[Doraki]

On a bien définie l'exponentielle complexe : avec réel.

En fait l'exponentielle est définie par e^x = 1 + x + x*x/2! + x*x*x/3! + x*x*x*x/4! + ... dans tout un tas de contextes (par exemple, exponentielles de matrices).
On peut aussi la définir comme étant l'unique application dérivable de C dans C telle que exp(0) = 1 et exp'(x) = exp(x)

Ensuite on regarde e^(ix) (lui son équadiff c'est y' = iy) et on se rend compte que quand on marche dans une direction orthogonale au segment qui nous relie à 0, eh ben on marche à vitesse constante en cercle autour de 0. Donc on peut définir pi comme étant le plus petit réel > 0 tel que exp(2ipi) = 1 (c'est la distance parcourue pour revenir au point de départ donc 2pi = la circonférence du cercle de rayon 1)

C'est ensuite qu'on définit cos et sin (2cos(x) = exp(ix) + exp(-ix) et 2isin(x) = exp(ix) - exp(-ix), pour x dans C ; ou bien cos(x) = Re(exp(x)) et sin(x)= Im(exp(x)), pour x dans R). Ou alors en donnant les équadiffs correspondantes si on préfère définir les gens en équadiff.


Pour z^i et log, soit tu définis log autour de 1 par une série entière (mais ça ne te définit log que dans un disque de rayon 1 autour de 1, donc c'est pas chouette)
soit comme solution d'une équation différentielle sur un ouvert à préciser qui risque pas de contenir 0. Les équations différentielles en question, (les solutions de zf'(z) = if(z) ; et de zf'(z) = 1 respectivement) se comportent mal en 0

Sinon tu définis pas log et à la place tu dis juste "soit x un complexe tel que e^x = i" plutot que "soit x = log(i)". Et tu définis pas z^i mais par contre tu regardes le sous-ensemble de C² {(exp(x),exp(ix)}, qui ressemble fort à ce que serait le graphe d'une fonction qui voudrait être z^i.

Enfin i^i on en parle pas, mais par contre on peut regarder dans {(exp(x),exp(ix))}, l'ensemble des points dont la première coordonnée est i. Il y en a pas mal.

Bref, il ne faut jamais jamais jamais JAMAIS JAMAIS utiliser "^" avec des complexes.

[barbu23]

Et tu définis pas z^i mais par contre tu regardes le sous-ensemble de C² {(exp(x),exp(ix)}, qui ressemble fort à ce que serait le graphe d'une fonction qui voudrait être z^i.

Pourriez vous m'expliquer svp, en détail ce passage, car, je ne l'ai pas bien compris.
Merci d'avance. :happy3:

[Doraki]

Ben l'ensemble G = {(exp(z),exp(iz)) ; z dans C} vérifie les propriétés suivantes :

- il contient (exp(1),exp(i)), qui est aussi connu sous la forme (e,e^i) et qui se trouve être le seul exemple que je connaisse où "x^i" ait un sens, et ce par abus de notation.

- si (x1,y1) et (x2,y2) sont dans G, alors (x1x2,y1y2) est aussi dans G (il suffit de prendre z=z1+z2)

- G est une variété complexe de dimension 1, et on a même mieux : localement, G est le graphe d'une fonction. Pour tout point (x,y) de G il existe un ouvert U de C² contenant (x,y), un ouvert V de C contenant x, et une fonction f : V -> C tels que G inter U = graphe de f = {(x,f(y)) pour x dans V}
D'ailleurs ce f est une solution de l'équation différentielle xf'(x) = if(x)

- G n'est pas globalement le graphe d'une fonction, puisque pour une valeur non nulle de x, il y a plusieurs valeurs de y telles que (x,y) est dans G ; et pour x=0 il n'y a aucune valeur de y telle que (0,y) est dans G.