Dérivabilité et DL

[Serru]

Bonjour,

Je me pose une petite question sur la dérivabilité d'une fonction et l'existence de son DL1. Si une fonction h est le produit d'une fonction f et d'une fonction g définies sur R et que g n'admet pas de DL1 en 0 (Car pas de limite réelle), alors peut-on affirmer que h n'admet pas de DL1 en 0 et donc que h n'est pas dérivable en 0 ?

[xyz1975]

Non, prends par exemple et

[xyz1975]

A la place de dérivabilité il fallait dire son prolongement est dérivable en 0.

[Serru]

Oui d'ailleurs il s'agit d'un prolongement par continuité, j'ai oublié de le préciser :briques: fg n'est pas définie mais prolongeable par continuité en 0...

Donc pour vérifier la dérivabilité de la fonction prolongée, comment faire ?

Edit : est-ce correct de rechercher la limite du taux d'accroissement ?

Mon exemple : On s'intéresse à h : . Cette fonction est prolongeable par continuité en 0 et sa prolongée h* prend la valeur 0 en 0. Je veux savoir si sa prolongée est dérivable en 0, est-ce que je peux calculer , d'où puisque , et en déduire que h* est dérivable en 0 avec h*(0) = 0 ?