Dérivabilité

[Anonyme]

Bonsoir,
Je fais en ce moment le cours sur les fonctions numériques, et plus précisemment sur la dérivabilité. Je ne parviens pas à faire l'exo suivant... pouvez-vous m'aider?
Merci d'avance.

On considère la fonction
si
si


1°) Montrer que est dérivable sur .

2°) Vérifier que n'est pas continue en .

[Galt]

Dans tous les cas de prolongement par continuité, on étudie la dérivabilité en revenant à la définition , soit ici, pour a=0, , qui vaut 0 puisque est borné.
D'autre part, pour x non nul, f' se calcule bêtement qui n'a pas de limite en 0. f' n'est donc pas continue ...

[Anonyme]

Merci de ton aide Galt, je vais reprendre tout cela depuis le début afin de bien comprendre. Bonne soirée!

[Anonyme]

euh ... tu es sûr pour la simplification de ta dérivée? Je parle de .... ?


De plus, si jamais c bon, pourquoi n'admet-elle pas de limite en 0?

[Galt]

J'avais fait une erreur de frappe, que j'ai corrigée.
La dérivée n'admet pas de limite en 0 à cause de

[Anonyme]

Et ... pourquoi à cause justement de ce ?

[krou]

parce que cos(1/x) quand x tend vers 0 peut valoir n'importe quoi entre -1 et 1

[danskala]

salut,

d'après Galt,

d'où

tend vers 0 quand x tend vers 0 car .

Ainsi, si admet une limite quand x tend vers 0 alors aussi et par conséquent aussi.

Or n'admet pas de limite quand x tend vers 0.

Conclusion : f' nadmet pas de limite quand x tend vers 0.





Maintenant, comment montrer que n'admet pas de limite en 0 ?

On se sert de la propriété suivante:
si f(x) tend vers une limite L quand x tend vers 0 alors pour toute suite qui tend vers 0, on a la suite qui tend vers L.

Soit la suite . Elle converge vers 0.
.
Donc tend vers 1.

Soit la suite . Elle converge vers 0.
.
Donc tend vers -1.

Si admettait une limite L quand x tend vers 0, et devraient converger vers cette même limite L. Ce qui n'est pas le cas.

bye