Dérivabilité

[w79exz]

Bonjour,
Je dois étudier la continuité et la dérivabiltié de h en (0,0,0).
si (x,y,z)!=(0,0,0) sinon =0
Pour la continuité je fait lim h(x,0,0), h(0,y,0) et h(0,0,z) tous = 0 donc elles sont continues.
Puis ensuite je fait la dérivée partielle de x, y et z.
Et j'ai






Est-ce que je peux conclure en les comparant aux dérivées partielle ?

merci d'avance

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Non ça ne va pas. Ce n'est pas parce qu'une fonction est continue sur les trois axes qu'elle est continue en 0.

[mathelot]

bonsoir,

le numérateur est une somme. Chaque terme de cette somme est un polynôme de degré au moins 4
(par exemple de degré 5)
On peut donc étudier la limite de chaque quotient , cette limite est zéro.
Pour le voir, on peut passer en coordonnées sphériques:






pour

soit:

[perroquet]

Bonjour, mathelot , GaBuZoMeu et w79exz.

J'interviens parce que je pense que la faute commise par w79exz vient d'un sujet précédent https://www.maths-forum.com/superieur/continuite-une-fonction-variables-t227193.html.

Dans ce sujet, on arrivait à montrer que la fonction étudiée n'était pas continue parce qu'elle "n'était pas continue sur l'un des 3 axes".
Par contre, comme le souligne GaBuZoMeu, si la fonction est "continue sur les trois axes", cela n'entraîne pas qu'elle est continue.
Une idée correcte a été exposée par mathelot en ce qui concerne la continuité.

[w79exz]

Ah d'accord merci ! Donc pour la dérivabilité je doit aussi utiliser les coordonnées sphériques sur les dérivées partielle et trouver que quand r->0 la fonction -> 0 alors elle est continue ?
Et on est d'accord que = r^4

[mathelot]

on pose
au voisinage de zéro, f s'écrit,si elle est différentiable


de plus, on doit avoir:


donc la différentielle de f à l'origine est nulle, comme les trois dérivées partielles.

Montrons que f est différentiable à l'origine:


passant en coordonnées sphériques , pour déterminer A:
il existe A réel tel que


donc f est différentiable en 0 (avec df(0,0,0)=0)

[w79exz]

J'ai pas compris comment vous avez trouvé

[mathelot]

J'ai pas compris comment vous avez trouvé

En coordonnées sphériques, r^4 se factorise au numérateur. L'autre facteur du numérateur est borné au voisinage de 0, par exemple par 31 si (x, y, z) est suffisamment proche de zero

[w79exz]

Donc ce raisonnement peut remplacer le fait de calculer les dérivées partielle et de montrer qu'elles sont continus?

[mathelot]

Donc ce raisonnement peut remplacer le fait de calculer les dérivées partielle et de montrer qu'elles sont continus?

oui, si les dérivées partielles de f existent (au voisinage de 0) et sont continues en 0, alors f est différentiable
en 0.

soit


+


pour r<1 et |x|<1 et |y|<1 et |z|<1



donc f est différentiable de différentielle nulle.

[w79exz]

D'accord mercii pour votre temps et votre aide !!