Dérivabilité en 0

[arris]

Bonjour, je n'arrive pas montrer que cette fonction est dérivable en 0 et à déterminer f'(0)...

0 si x =0
si vous pouvez m'aider ce serait sympa..
merci d'avance

[hdci]

Bonjour,

Il faut calculer la limite en 0 de

Commencez par calculer cette fraction.

En inversant la fraction, et en passant à la limite, on se rend compte que c'est la dérivée d'une autre fonction bien plus sympa, il n'y a plus qu'à inverser la limite trouvée.

[arris]

D'accord mais une fois inversée que doit-on reconnaitre ?
j'ai pensé à mettre e^-x en facteur pour avoir i.e une forme connue de limite mais je ne tombe pas sur le résultat voulu in fine...

[Black Jack]

Salut,

e^x = 1 + x + x²/2 + x³/3! + ...
e^-x = 1 - x + x²/2 - x³/3! + ...

e^x - e^*x = 2(x + x³/3! + ...)

x²/(e^x - e^*x) = 1/2 * x²/(x + x³/3! + ...) = (1/2) * x/(1 + x²/3! + ...)

lim(x--> 0) x²/(e^x - e^*x) = 0

et donc ...
*****

(f(x) - f(0))/x = x/(e^x - e^*x)

(f(x) - f(0))/x = x/(e^x - e^*x) = x/[ 2(x + x³/3! + ...)]

(f(x) - f(0))/x = 1/[ 2(1 + x²/3! + ...)]

f(0) = lim(x--> 0) [(f(x) - f(0))/x] = 1/2

[pascal16]

sans DL, version Lycée :

(e^x +e^-x) /x
= (e^x -1)/x + (1- e^-x)/ x

(e^x -1)/x tends vers (e^x)'(0)
(1- e^-x)/ x = ( e^-x - 1)/(-x) tends vers (e^x)'(0)


remarque
(e^x +e^-x) /(2x) est le taux d'accroissement symétrique de e^x en 0, sa limite est la dérivée de e^x en 0.

[arris]

merci à tous j'ai compris