Dérivabilité-Fonction de plusieurs variables

[jadis]

Bonjour,
dans un exercice, on me demande de prouver que toutes les dérivées partielles de la fonction sont nulles à partir d'un certain rang et d'en déduire que f est de classe .

Voici ce que j'ai déjà fait:

Fixons un point (a,b) € R². On peut introduire les deux fonctions partielles:




Ainsi on constate que les deux fonctions partielles f.b(x) et fa.(y) sont des polynômes. Or, pour un polynôme, les dérivées d'ordre supérieures à son degré sont nulles.

Comme, pour tout n, et
et sachant que pour tout n, on a:
et
on en déduit que il existe tel que pour tout n>,
et tel que pour tout n>,

Les fonctions partielles de f sont nulles à partir d'un certain rang, or la fonction nulle est de classe donc les fonctions coordonnées de f sont de classes .

On en déduit que f est de classe .

Le problème, c'est que je ne démontre rien pour les dérivées partielles mixtes.
Quelqu'un a une idée?
Merci d'avance.

[fahr451]

bonjour

je vois un problème de logique dans ton énoncé si les dérivées partielles sont toutes nulles à partir d'un certain rang c'est donc qu 'elles existent toutes et donc que f est de classe C infini

je prouverais plutôt que f est de classe c infinie a priori
p1 : R^2 -> R (x,y) -> x et p2 : R^2 -> R (x,y)->y sont c infinie

exemple fondmental

et f = p1^2 ^.p2^3.( p1+p2+ 1) l 'est aussi comme some et produits de fcts c infinie
il est clair que si on dérive au moins 7 fois la dérivée partielle est nulle

(

[jadis]

En fait, la partie "en déduire que f est de classe c infini" est basique.
Mais comme je le dis à la fin de mon premier post, ce sont les dérivées mixtes qui me posent problème.
Biensûr, c'est évident, mais rédiger ça, là, je bloque...

Ps: Cette question se trouve dans un exercice de l'UE de 2ème année de Licence de maths intitulée "fonctions de plusieurs variables".

[fahr451]

ça te va pas ce que j ai fait ?

[jadis]

Merci pour ton aide Fahr, mais j'ai l'impression que la clé de ta démonstration, c'est "il est clair que si on dérive ...".
J'essaie d'éviter le plus possible cela dans mes démonstrations (il est clair, c'est évident...), peut être ai-je tort....

1+1=2, c'est évident, pourtant, il en faut des pages, pour démontrer cela...

Je viens de voir une paranthèse ouverte à la fin de ton premier post, peut être manque t il quelque chose...

[fahr451]

ah ben non j'avais fini

je vais préciser "il est clair"

f est un polynôme en x et y c'est à dire une combinaison linéaire de
x^n y^m
avec n+m=<6

donc si on calcule une dérivée partielles d'ordre 7 on dérivera au moins n+1 par rapport à x et donc la dérivée sera nulle ou au moins m+1 fois par rapport à y et la dérivée sera nulle

toutes les dérivées partielles d'ordre 7 sont nulles

et il est clair (oui?) que pour un ordre supérieur elles le seront aussi

[jadis]

Merci pour cette précision, c'est bien comme cela que j'avais refait en m'aidant de ton premier post, en précisant juste en plus que cela reste vrai pour les dérivées mixtes (en y réfléchissant bien, je crois que c'est inutile).

Et désolé, je ne voulais pas te vexer! ;)
En tout cas, merci encore.

[fahr451]

je ne suis pas véxé du tout ; ici c'est un lieu pour poser des questions alors il est naturel que tu en poses

dans les dérivées "mixtes" ont peut permuter l'ordre de dérivation (th de schwartz) donc on peut tjrs considérer qu'on dérive d'abord par rapport à x (éventuellement 0 fois) puis par rapport à y

[jadis]

Voilà, c'était ça qui me manquait!
Le théorème de schwartz, je n'y ai pas pensé...

Une dernière petite chose, tu mets des guillemets à "mixte", ce terme est-il incorrect ou existe-t-il un autre terme plus adequat pour que tu l'ais fait?