Dépendance linéaire de vecteurs EPFL

[DetGirl8]

Salut à tous,

Je suis en train de faire une série d'exercices d'Algèbre linéaire et je bloque à chaque exercice car il me manque une notion apparemment essentielle.
Prenons, a1 et a2, deux vecteurs linéairement indépendants.

a1 = (1, -2, 3) et a2 = (2, -4, 6)

je dois déterminer si ces vecteurs peuvent exprimer les vecteur v (-6, 12, -18), et, si oui, je dois déterminer les valeurs des k, de telle sorte que :

k1*a1 + k2*a2 = v

j'ai essayé de m'y prendre avec des matrices, mais je me suis embrouillée...

quelqu'un peut m'éclairer svp ?

Merci d'avance !

[Robot]

C'est résoudre un système de 3 équations linéaires à deux inconnues. Tu devrais savoir faire, n'est-ce pas ?

[DetGirl8]

J'y ai pensé un allant faire mes courses ahaha merci Robot

[aymanemaysae]

Premièrement et ne sont pas linéairement indépendants car , de plus .

Un exemple qui répond à votre question est comme suit:

Soient et deux vecteurs linéairement dépendants , et .
Écrivons v sous forme d'une combinaison linéaire de et , c-à-d avec ,
donc , donc
,

donc .

[DetGirl8]

Merci aymanemaysae !

C'est vrai que je n'ai pas vu que a1 et a2 étaient linéairement dépendants... Je croyais que deux vecteurs linéairement dépendants ne pouvaient pas créer un nouveau vecteur ?
Géométriquement, est-ce que ça veut dire que les vecteurs a1 et a2 ont la même direction ?
Je suis un perdue car j'ai cru qu'il fallait absolument que les vecteurs a1 et a2 soient linéairement indépendants pour pouvoir être la combinaison linéaire d'un autre vecteur.

Merci pour ta réponse très précise, et pour ton temps !:)

[Robot]

Pas mal de confusion dans ce que tu écris !
Deux vecteurs colinéaires non nuls et engendrent une droite vectorielle (sous-espace vectoriel de dimension 1). Tout vecteur de cette droite vectorielle (et il y a une infinité de tels vecteurs !) peut s'écrire, de manière non unique, comme combinaison linéaire de et .

Un exemple bête : , colinéaires. Soit un vecteur quelconque de la droite vectorielle engendrée. Alors pour tout .

[DetGirl8]

Aah, voilà qui est plus clair ! Merci Robot, une fois encore:)