Densité de probabilités Agro 2007

[pluie2]

Bonjour à tous, je m'entraine à faire des exercices concernant les fonctions de répartition et densité et j'aimerais avoir une aide sur celui-ci tombé à l'agro en 2007 :

Soit r un réel positif. On considère la fonction définie sur R par f(x)=a/(pi(x²+r)).
a) Déterminer la valeur de a pour laquelle f est une densité de probabilité. On désignera dans la suite par X une variable aléatoire réelle qui admet cette densité de probabilités.

b) Préciser la fonction de répartition de X et montrer que X n'a pas d'espérance.

c) Soit (O,A,P) l'espace probabilité sur lequel est définie X. On considère la variable aléatoire Y définie par Y=ln|X|. Déterminer une densité de Y et montrer sans calculs que Y admet une espérance .

j'ai fait :

a) densité ssi a/pi * [1/r(arctan(x)]=1 entre -oo et +oo et je trouve au final a=r.
b) P(X<=x)=F_X(x)=? je bloque à ce niveau, faut il intégrer f entre -oo et x ?

merci de m'aider à comprendre

[jlb]

oui, c'est bon, tu utilises la formule de ce matin.

[jlb]

tu es sur de ton a), ce n'est pas rac(r) plutôt? ( je ne suis pas sur et je n'ai as de papier sous la main)

pour le b) c'est la bonne méthode: tu connais la densité donc tu peux calculer la fct de répartion: c'est la formule de ce matin

[pluie2]

tu es sur de ton a), ce n'est pas rac(r) plutôt? ( je ne suis pas sur et je n'ai as de papier sous la main)

pour le b) c'est la bonne méthode: tu connais la densité donc tu peux calculer la fct de répartion: c'est la formule de ce matin

oui je suis sure il n'y a pas de racines

ok donc pour la b) j'intègre mais c'est le c du coup qui m'embête car je ne peux pas appliquer arctan

[jlb]

oui je suis sure il n'y a pas de racines

ok donc pour la b) j'intègre mais c'est le c du coup qui m'embête car je ne peux pas appliquer arctan

bon alors, j'ai refait le calcul, c'est bien rac(r) à part si tu as oublié un carré dans ton premier énoncé. dans la densité f c'est r ou r²?

[pluie2]

non l'énoncé est correct j'ai du faire une erreur de calcul sans doute.
Mais pour l'intégration, racine r est une constante mais je ne vois pas comment trouver une primitive

[jlb]

non l'énoncé est correct j'ai du faire une erreur de calcul sans doute.
Mais pour l'intégration, racine r est une constante mais je ne vois pas comment trouver une primitive

Pour a) f(x)= a/(pi(x²+r))=a/((pi.r)((x/rac(r))²+1)= a/(pi.rac(r))* (1/rac(r))/((x/rac(r))²+1)

et tu utilises le chgt de variable u=x/(rac(r)) pour intégrer entre -oo et +oo ( tu vas voir apparaitre arctan(u)), au final cela te donne a/rac(r)=1

pourb) tu recommences par entre -oo et x, pour avoir la fction de répartition et pour la deuxième partie tu dois calculer l'intégrale de -oo à +oo de xf(x), ce que tu intègres est de la forme u'/u et tu verras que cela ne converge pas

Pour la question c), parcours Wikipédia article densité de probabilité (partie 3.2)

[pluie2]

merci je vais faire ça

[Cauchy2010]

Salut,

c'est ce qu'on appelle une loi de Cauchy