Densité de probabilité conditionnelle

[Baillya]

Bonjour,

J'ai une question concernant la détermination d'une densité de probabilité conditionnelle.

Soit 2 variables aléatoires X et Y.
La variable X correspond à la densité de probabilité f1(x)
La variable Y correspond à la densité de probabilité f2(y).
On peut déterminer facilement la densité de probabilité de Z = X + Y.
f(z) = intégrale { de -inf à +inf } f1(x) f2(z-x) dx
Ma question est: quelle serait la densité de probabilité f1(x|z = z1). C'est à dire la densité de probabilité de f1(x sachant que le somme des variables aléatoires x et y vaut z1).
Je crois qu'il faudrait utiliser le théorème de Bayes mais comment?

Je remercie toute personne qui pourrait m'aider à trouver une solution.

Salut à tous,
Alexandre bailly

[Luc]

Bonjour,

tout d'abord, pour obtenir le résultat que tu cites pour Z=X+Y est vrai, il faut supposer que X et Y sont indépendantes. Ensuite, la question serait plutôt : La variable (X sachant Z=z1) est-elle une va a densité, et si oui quelle est sa densité?

[Baillya]

Merci Luc,

Je suis d'accord avec ces précisions.

Comment prouve-t'on que (X sachant que Z) est une variable aléatoire à densité? Intuitivement, la densité de probabilité de f1(x) subit au moins une translation en direction de z1. Par exemple si les densités de probabilité f1(x) et f2(y) sont symétriques et de moyenne 0 (f1(-x) = f1(x) et f2(-y) = f2(y)) et si z1 vaut 1000, alors f1(x|z=z1) -pour autant que f1(x|z=z1) existe - devrait avoir une moyenne égale à 500.

[DamX]

Bonjour,

Voici une manière "physique" de démontrer la formule qui ne se veut pas rigoureuse pour démontrer l'existence mais qui permet de bien comprendre ce qui se passe derrière.

On veut la densité de x sachant z = x+y = z1. Par abus de la langage mais pour mieux appréhender ce qu'on recherche, on cherche en fait la proportion de "cas" où x vaut x1 (et z vaut z1) parmi le nombre total de cas où z vaut z1.

La proba que x vaille x1 et z vaille z1 est en fait la proba que x vaille x1 et y=z1-x1, ie f1(x1)f2(z1-x1). Le nombre total de cas où z vaut z1 quant à lui est la somme de ce terme sur tous les x possible, et tu retombes sur la formule de la densité de z que tu as écrite.

Au final, la densité de x sachant z est donc le ratio de ces deux termes :
f1(x1)f2(z1-x1)/intégrale_sur_x(f1(x)f2(z1-x)). Tu peux vérifier que cest bien une densité qui se somme à 1 sur x1.

Mais autrement, en effet utiliser la règle de bayes (http://en.m.wikipedia.org/wiki/Bayes'_theorem#section_3) (la version avec X et Y continues) fournit directement ce résultat. J'ai juste donné ici une intuition pour la comprendre.

En espérant que cela a pu t'aider,
Damien

[Luc]

Merci Luc,

Je suis d'accord avec ces précisions.

Comment prouve-t'on que (X sachant que Z) est une variable aléatoire à densité?

En fait on fait en même temps la preuve que c'est une va à densité et le calcul de la loi de cette va, par la méthode qu'a indiquée Damien.

[Baillya]

Merci beaucoup Damien!

Je suis d'accord avec toi: la formule exposée en Wikipedia donne immédiatement le résultat.

Cependant ton explication donne une confiance accrue dans la solution. Il me semble que tu fais en quelque sorte du calcul infinitésimal.

P(A|B) = P(A) P(B|A) / P(B)

f1(x|z1)dx = (f1(x)dx f2(z1|x)dz)/(f(z1)dz)

qui devient
f1(x|z1) = f1(x) f2(z1-x) / f(z)

Si tu es d'accord, alors on peut conclure la discussion.

Encore merci!

[DamX]

Merci beaucoup Damien!

Je suis d'accord avec toi: la formule exposée en Wikipedia donne immédiatement le résultat.

Cependant ton explication donne une confiance accrue dans la solution. Il me semble que tu fais en quelque sorte du calcul infinitésimal.

P(A|B) = P(A) P(B|A) / P(B)

f1(x|z1)dx = (f1(x)dx f2(z1|x)dz)/(f(z1)dz)

qui devient
f1(x|z1) = f1(x) f2(z1-x) / f(z)

Si tu es d'accord, alors on peut conclure la discussion.

Encore merci!

Oui c'est bien ça.

[Baillya]

Merci Damien.