Bonjour, nous avons eu ce matin un DS de maths qui contenait un début de topologie (on a commencé le cours y a quelques jours), et je me demande si un de mes raisonnements est vrai (il me paraît faux, ou au moins pas clair, mais comme c'est très nouveau je ne suis pas sûr de moi).
La situation est la suivante : on a un ensemble P dense dans l'espace vectoriel E des fonctions continues définies sur I=[0,1], muni de la norme infini définie par . Soit une suite d'éléments de I.
Toutes les fonctions g de P vérifient , et je voulais étendre cette propriété à E.
Pour cela j'ai pris une fonction f de E et deux entiers naturels non nuls N et M. Après j'ai dit qu'il existait une fonction de P "sufisamment proche de f", avec la suite qui tend uniformément vers f lorsque M tend vers l'infini, vérifiant (en passant les détails).
En supposant que tout soit correct jusqu'ici, est-ce que je peux faire un double passage à la limite comme suit ? En passant à la limite sur N, tend vers , laquelle quantité tend vers en passant à la limite sur M, donc .
Le double passage à la limite me gêne un peu, je dois dire. Et deuxième question : dans l'hypothèse où ce serait juste, est-ce que ça le resterait si à droite de l'inégalité (1) j'avais du au lieu de ?
J'éspère ne pas avoir été trop confus, et merci à ceux qui auront pris le temps de me lire