Dénombrement

[SwiiTeK]

Bonjour, je suis en train de réviser le partiel en probabilités de ma fac de l'année dernière et je suis tombé sur cette exo :
Un parking contient douze places alignées. Huit voitures s’y sont garées
au hasard, et l’on observe que les quatre places libres se suivent. Est-ce surprenant ?
J'ai donc trouvé un résultat, puis j'ai programmé sur python et j'ai trouvé autre chose alors je sais pas si c'est ma théorie qui est mauvaise ou alors mon programme
Bref quelqu'un serait sur de son résultat et pourrai me l'expliquer et me le donner ?
Merci

[GaBuZoMeu]

Eh bien, commence par dire ce que tu as fait et montrer quel programme python tu as écrit. Ça fera un point de départ pour la discussion.

La question est : en -dessous de quelle probabilité doit-on être surpris par la réalisation de cet événement ?

[SwiiTeK]

def parking(n):
compt = 0
for i in range(n):
l = [0 for i in range(12)]
for i in range(8):
x = random.randint(0,11)
l[x] += 1
for j in range(9):
if l[j] == 0 and l[j+1] == 0 and l[j+2] == 0 and l[j+3] == 0 :
compt += 1
return compt/n

Voici le programme que j'ai écrit, il est sans doute faux.
Maintenant en théorie j'ai dénombré omega ce qui est assez facile obtient une combinaison de 8 parmis 12
Pour dénombrer l'évènement je me questionne un peu plus

[fatal_error]

Si on nomme les places de 0 à 11.
4 places libres qui se suivent prennent les places 0123 ou 1234 ou ... ou 89AB (hexa)
Ce qui fait 9 possibilités pour place libres.

C'est d'autant plus improbable que les gens se garent se garent mal et ont tendance à éviter les crénaux difficiles...
Peut être les events des 4 places libres consécutives sont dus à des yakuzas en réunion qui sont partis en même temps!

[SwiiTeK]

Je trouve une proba qui se rapproche de 0,35 par la en faisant comme ça, ca me paraît beaucoup

[GaBuZoMeu]

Quel calcul fais-tu pour arriver à 0,35 ?
Tu étais pourtant bien parti avec le dénombrement de tous les cas possibles. Et ensuite ?

[tournesol]

j'arrive à 1/55

[GaBuZoMeu]

Tournesol, tu penses que SwiiTeK ne pouvait pas y arriver par lui-même ?

Je suis frappé par la propension de nombreux intervenants à donner la réponse à l'exercice sans laisser le questionneur y arriver par lui-même, en exploitant les coups de pouce.

[SwiiTeK]

En fait pour dénombrer les cas favorables, j’ai compter « à la main » le nombre de places libres cote à côte ce qui trouve 9, puis multiplié par 8!pour les voitures..
Mais il y a pas une façon plus « élégante » de trouver ça sans compter un par un les possibilités des places vides ?

[GaBuZoMeu]

puis multiplié par 8!pour les voitures..

Pourquoi fais-tu ça ???

Quand tu dénombres tous les cas possibles avec le nombre de combinaisons de 8 parmi 12, est-ce que tu prends en compte la façon dont chaque voiture est rangée (telle voiture à telle place) ou juste l'ensemble des places parmi les 12 occupées par les 8 voitures ?

[SwiiTeK]

Bah ça prend juste l'ensemble des places parmi les 12 occupées par les 8 voitures on tient pas compte dans quel ordre elle sont placées.
Du coup une fois les 4 places libres fixées on aurait qu'une seule façon de placer les 8 voitures ?
D'où les 9 cas possibles ?

[GaBuZoMeu]

Du coup une fois les 4 places libres fixées on aurait qu'une seule façon de placer les 8 voitures ?

Bien sûr que non ! Mais j'ai l'impression que tu ne vois pas clairement les choses.

Où bien on tient compte de la façon de placer les 8 voitures à la fois quand on dénombre les cas possibles et les cas favorables. Alors le nombre de cas possibles n'est pas le nombre de combinaisons, mais le nombre d'arragements.
Ou bien on n'en tient compte ni pour les cas possibles ni pour les cas favorables, ce qui est tout à fait légitime puisqu'à chaque fois qu'on a fixé les huit places occupées, il y a 8! façons de ranger les huit voitures dedans.

[SwiiTeK]

Oui ça je comprend bien mais du coup dans mon cas ou je ne tient pas compte de la facon de placer les 8 voitures puisque je fonctionne en combinaisons pour les cas possibles, lorsque j'ai fixé les 4 places libres (donc 9 cas possibles) combien il reste de façon de placer les 8 voitures ?
Pour moi il reste qu'une seule façon puisqu'on ne tient pas compte de l'ordre, on fait comme si c'était toutes des peugeot 206 noires pourquoi pas

[GaBuZoMeu]

Tu ne parles donc pas de la façon de placer les huit voitures, mais des huit places occupées par celles-ci. Il est bien clair que fixer les 4 pliaces libres parmi les douze ou fixer les huit places occupées, c'est kif-kif, non ?
Bref, ceci n'explique pas pourquoi tu multipliais par 8!.

En espérant que ceci est bien tiré au clair, comment finis-tu ton calcul ?

[SwiiTeK]

Oui c'est la même chose, du coup on a
A := "Les places restantes se suivent"
P(A) = card(A)/card(omega) car P est une probabilité uniforme ici
card(A) = 9
card(omega) = fact(12)/fact(8)*fact(4)
donc P(A) = (9*fact(8)*fact(4))/fact(12) = 1/55

Oui c'est un peu plus clair merci !

[GaBuZoMeu]

Ben voila.

[LB2]

Pour faire un programme Python,

on peut remarquer que l'évènement considéré a la même probabilité que l'évènement suivant :

"On tire 4 nombres entiers aléatoires entre 1 et 12. Ce sont des entiers consécutifs".

(autrement dit, on choisit les places libres et non les places occupées).

Je coderai une fonction "consecutif" qui prend en argument 4 nombres entiers et qui renvoie 1 s'ils sont des entiers consécutifs et 0 sinon.

Puis on fait une méthode de Monte Carlo très simple, en répétant N fois l'expérience :

Faire N fois :
- Choisir 4 nombres entiers a,b,c,d entre 1 et 12, selon une loi uniforme
- Si consecutif (a,b,c,d)= 1, incrémenter compteur

Renvoyer compteur/N

[tournesol]

Mon cher GaBuZoMeu , comme tu as pu le constater , donner la réponse ne suffit pas .
Ça fixe un objectif et c'est tout .

[SwiiTeK]

LB2,
c'est un peu ce que j'ai fais mais j'ai fais avec une liste.
Je vois toujours pas où est mon erreur dans mon programme c'est un peu bizarre

[GaBuZoMeu]

Avec le programme que tu as écrit, rien n'empêche deux voitures de se garer à la même place !

Un conseil pour communiquer ton programme python : utilise le bouton "code" de la fenêtre d'édition pour mettre ton programme entre balises [code] ... [/code]. Ça permet de conserver l'indentation.