Dénombrement : ranger des billes

[Godfrey]

Bonjour à tous,
J'ai une idée de réponse au problème suivant mais je sèche un peu sur l'argumentation à mener pour le trouver.

On dispose de 10 billes de couleurs différentes : 5 billes vertes, 3 billes bleues et 2 billes rouges.
On les range en les alignant sur une même rangée. De combien de façons peut-on faire cela ?

Ma réponse :
--> Se donner une disposition des billes, c'est se donner un 10-uplet d'éléments distincts dans E={V1,V2,V3,V4,V5,B1,B2,B3,R1,R2} sans faire de distinction entre V1 et V2, V1 et V3,...
Autrement dit, possibilités

-->Autre méthode : il s'agit de placer convenablement mes 5 billes vertes au hasard parmi 10 cases, puis 3 billes bleues parmi les 5 restantes, puis 2 rouges parmi les 2 dernières.
Autrement dit, possibilités

En développant, je retrouve le résultat obtenu avec la première méthode.

Le problème c'est que je ne suis pas vraiment satisfait de mes explications qui sont un peu vagues... En avez-vous d'autres à me proposer ?

Merci d'avance

[chan79]

salut
La seconde méthode me convient bien.
Pour réaliser un rangement, on choisit d'abord 5 emplacements sur 10 pour les vertes puis 3 sur les 5 restants pour les bleues. Il en reste 2 pour les 2 rouges

[beagle]

La 1 est bonne, plus difficile à rédiger.

le C(k,n) sans ordre
le A(k,n) avec ordre
on a : A(k,n) = k! x C(k,n)

Donc ton sans ordre si c'est:
C(5,10) x C(3,5) x C(2,2)

Avec ordre:
A(5,10) x A(3,5) x A (2,2)
tu peux vérifier que c'est les permutations de 10 en effet car tu as 10! les autres trucs se simplifient en haut et en bas les uns les autres au fur et à mesure, jusqu'au (2-2)! = 1

Donc en effet en partant de n! , en partant de 10! pour retrouver le sans ordre tu dois diviser par les 3 facteurs k! en trop des A(k,n) : le 5! et le 3! et le 2!

[Ben314]

Salut,
Perso, la première méthode me va (aussi) parfaitement bien : Pour tout choix des couleurs style (V,R,V,B,R,B,V,V,B,V) il y a 5!x3!x2! façon de numéroter les billes pour obtenir un truc du style (V4,R2,V2,B3,R1,B1,V3,V1,B3,V4) donc le nombre N cherché vérifie Nx5!x3!x2!=10!
De plus les fractions du style (avec ) ne sont en fait qu'une simple généralisation des coefficients binomiaux et on les appelle coefficients multinomiaux.
Bien sûr, exactement comme les coefficients binomiaux, ils correspondent à la fois à un problème de dénombrement mais ce sont aussi les coeffs. que l'on obtient lorsque l'on développe (multinôme de Newton).

[Godfrey]

Merci tout le monde. J'y vois maintenant deux avantages :
--> avec la première, ca permet de retrouver un peu l'astuce qui permet de montrer que le nombre de parties à p éléments est égal au nombre de p arrangements diviser par la factorielle de p.

--> la deuxième est plus visuelle, on va dire. Raisonner avec des k parmi n est également plus abordable.