Dénombrement un peu compliqué

par **lasaid** » 27 Aoû 2005, 15:42

bonjour,
voici un exercise qui m'a cassé la téte et desesperment j'ai pas pu le résoudre .
Combien de n-uplet (X1,X2,..........,Xn)peut on constituer des eléments entiers compris entre 0 et n.sachant que la somme des Xi doit etre égale à n.
merci d'avance.

par **phenomene** » 27 Aoû 2005, 16:02

Bonjour, en tapant "combinaisons avec répétition" dans Google, tu devrais trouver ton bonheur.

par **Galt** » 27 Aoû 2005, 18:28

Je suppose que les deux n ne représentent pas le même entier.
Si on imagine un segment de longueur n, on doit le couper en morceaux de longueurs entières. Pour cela, il suffit de planter des piquets aux endroits où on coupe. On peut donc en conclure qu'il y a

partitions

par **lasaid** » 27 Aoû 2005, 19:13

apparement phenomene t'as pas bien lu l'énoncé je te conseille de le faire pour la deuxiéme fois et surtout n'oublie pas de mettre une ligne rouge sur le fait que la somme des Xi doit etre égale à n.je veut dire X1+X2+X3+.....+Xn=n
merci pour le conseil méme s'il est vain. :stupid_in

par **Alpha** » 27 Aoû 2005, 19:20

Salut à vous,

Ce sujet me rappelle très fortement un problème que j'avais résolu il y a de cela quelques mois, c'était sur le nombre de façons de lancer n fois un dé à 6 faces, l'ordre dans lequel les numéros étaient obtenus ne comptant pas.

Ici, on a quasiment le même problème, sauf qu'avec la solution que j'avais donnée à l'époque, on pourrait avoir des répétitions, il me semble.

Je vous envoie donc sur cette discussion fort intéressante, et pendant ce temps j'essaie de voir comment du problème avec les lancés de dés, on peut résoudre celui-ci. Il y a une forte analogie.

Voici le lien :

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=3690&page

:happy3:

par **lasaid** » 27 Aoû 2005, 19:29

salut alpha,
je crois que tu te trompe lorsque tu parle d'une sorte d'analogie parce que dans mon probléme la somme des Xi est egale n ça veut une restriction des cas .

par **Alpha** » 27 Aoû 2005, 19:41

Je ne pense pas me tromper :

As-tu seulement regardé le lien que je t'ai indiqué? Dans la discussion dont je parle, n représente le nombre de dés, mais j'ai résolu le problème en considérant un nombre n de boules qu'on réparti dans des colonnes. Je vois, personnellement, une analogie entre ces n boules et le nombre n :

J'ai plusieurs façons de faire n, de la même façon que j'ai plusieurs façons de répartir les n boules dans les colonnes. Le seul problème, avec mes colonnes, c'est que certaines sommes donnant n se répèteraient en permutant certaines colonnes...

Le problème est assez abstrait, je n'ai pas encore acquis la certitude que je pouvais résoudre ton problème à partir de celui que j'ai indiqué, mais je pense que c'est possible. En tout cas, regarder la discussion

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=3690&page

ne pourra que te donner une piste, et si ce n'est pas le cas, tu auras quand même appris quelque chose.

Cordialement.

par **phenomene** » 27 Aoû 2005, 19:56

lasaid a écrit:apparement phenomene t'as pas bien lu l'énoncé je te conseille de le faire pour la deuxiéme fois et surtout n'oublie pas de mettre une ligne rouge sur le fait que la somme des Xi doit etre égale à n.je veut dire X1+X2+X3+.....+Xn=n
merci pour le conseil méme s'il est vain. :stupid_in

Bonjour, le nombre de combinaisons avec répétition de

objets

à

, c'est-à-dire le nombre de

-uplets d'entiers positifs

solutions de l'équation

, est

. Il me semble que pour

, la condition

entraîne que chaque

est inférieur à

, si bien que cela répond à ta question.

Alors, ai-je mal lu l'énoncé ou n'as-tu pas pris la peine de faire la recherche que je te suggérais (j'avoue avoir eu la flemme de recopier ce genre de résultat archi-classique) ? :marteau:

Cordialement.

par **lasaid** » 27 Aoû 2005, 20:01

je l'ai déja vu le lien ce qui m'a poussé à dire ce que je viens de dire et je pense personellement que la réponse de Galt est la bonne mais elle manque un peu d'explication là bas .je suis pas si sur

par **Alpha** » 27 Aoû 2005, 20:02

Plus précisément, voilà la façon dont je vois les choses :

j'ai mon nombre n, et j'ai plusieurs façon de l'obtenir avec des sommes :

Je peux faire 1 + 1 +1 + 1...+1 n fois, et j'aurais n,

mais aussi 1 + 0 + 2+ 1+.. + 1, et j'aurais encore n,

ou encore 0 + 0 +3 + 1 + ... +1 , ce qui donnera n,

mais bien sûr il y a plein d'autres possibilités d'obtenir n, je n'en ai exposé que quelques-unes.

Mais donc, voilà : Considérons n colonnes, et n boules.

Je choisis de distribuer ces n boules au hasard dans ces n colonnes.

Ensuite, je note le nombre de boules dans la colonne numéro 1, la 2, et la nième aussi. Ce nombre, je peux par exemple l'appeler b(i) pour le nombres de boules qui sont arrivées dans la i-ème colonne.

Si je somme les b(i), puisque je pars de n boules, je dois arriver à n.

J'ai donc

.

On voit donc l'analogie entre les deux problèmes.

par **lasaid** » 27 Aoû 2005, 20:06

salut phenomene,
bah oui il me semble que t'as enfin lu l'énoncé mais ou est elle cachée ta réponse.

par **Alpha** » 27 Aoû 2005, 20:09

La solution de phenomene ressemble beaucoup à la solution que j'obtiens avec le lancé de dés, ou la distribution de n boules dans n colonnes.

Or quel est le nombre de façons de distribuer n boules dans n colonnes? Je l'ai expliqué dans la discussion sur le lancé de dés, dont j'ai indiqué un lien plus haut. D'une manière, le nombre de façons de distribuer n boules dans p colonnes est égal à n parmi n+p-1. La raison de cela est aussi indiquée dans l'autre discussion. Ici, comme p=n, on a n parmi 2n-1.

On pourrait penser que le nombre de façons de faire n est égal au nombre de façons de répartir n boules dans n cases.

Mais ce n'est pas le cas. Prenons une répartition :

1 2 8 2 5 ..... 4 de b(i) dont la somme vaut n.

Dans mon calcul précédent, j'ai aussi compté le cas

2 8 1 5 2 ..... 4 (où ce qu'il y a dans les points est la même chose que ce qu'il y avait dans les points plus haut).

En gros, j'ai compté chaque combinaison trop de fois. Et je sais combien de fois trop. Puisque, n nombres étant donnés, j'ai factorielle n façons de les ordonner, me semble-t-il (c'est dans ce semble-t-il qu'est tout le problème je crois : ça fait trop longtemps que je n'ai plus fait de dénombrement!).

La solution, serait donc, d'après cette première et très brève (temporellement) analyse,

n parmi 2n-1 divisé par factorielle n,

soit

Mais je doute très fortement de ce résultat, étant donné que je ne suis déjà pas sûr à priori que ce nombre soit un entier!

Mais cela demande à être vérifié et confirmé ou infirmé par d'autres.

Cordialement.

par **phenomene** » 27 Aoû 2005, 20:12

lasaid a écrit:je l'ai déja vu le lien ce qui m'a poussé à dire ce que je viens de dire et je pense personellement que la réponse de Galt est la bonne mais elle manque un peu d'explication là bas .je suis pas si sur

Ah, tu ne cherches pas le nombre de

-uplets d'entiers positifs

solutions de l'équation

? Peut-être que je suis fatigué et ai mal lu ta question, mais alors merci de m'expliquer ce que j'aurais mal lu...

par **phenomene** » 27 Aoû 2005, 20:17

lasaid a écrit:salut phenomene,
bah oui il me semble que t'as enfin lu l'énoncé mais ou est elle cachée ta réponse.

Nos derniers messages se sont croisés... Etant donnée l'impolitesse dont tu fais preuve, je ne répondrai plus à tes questions. Je te ferais remarquer que j'avais lu l'énoncé correctement dès le début et avais répondu à ta question.

Fin de l'échange en ce qui me concerne. :hum:

par **Anonyme** » 27 Aoû 2005, 20:18

Bonjour Phénomème,

C'est sans aucun doute ton métier d'enseignant qui te rend si patient et si tolérant devant l'arrogance "phénoménale" de lasaid .... Personnellement je n'ai pas ces qualités.

Cordialement.

par **leibniz** » 27 Aoû 2005, 20:23

lasaid a écrit::stupid_in

Salut,

Je sais pas si ceux qui ont répondu ont fait attention, mais tu sais ça donne quoi en français ce que tu viens d'écrire.... :hum:

par **Alpha** » 27 Aoû 2005, 20:23

Fin de l'échange aussi en ce qui me concerne, pour les mêmes raisons que phenomene. C'est dommage, le sujet était très intéressant. Je chercherai donc probablement tout seul si ma solution est bonne, ou pourquoi elle est mauvaise, et tenterai de la confronter avec celle de phenomene qui est très certainement juste.

Tant de désinvolture et d'impolitesse ne sont pas acceptables. Nous acceptons parfaitement de nous tromper, et n'avons pas d'orgueil mal placé, mais nous exigeons un certain respect.

Le respect ne se trouve pas que dans le bonjour ou le merci, il se trouve dans le comportement général. Tu aurais du prendre le temps de considérer ce que nous te disions, au lieu de balancer des avis à l'emporte-pièce et de montrer des signes d'impatience.

Discussion fermée jusqu'à nouvel ordre.

Dénombrement un peu compliqué

dénombrement un peu compliqué

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