Dénombrement d’un ensemble de surjections

[William04]

Bonjour, je bloque sur un exercice de dénombrement. Soit , on considère E un ensemble de cardinal et F un ensemble de cardinal . Dénombrer le nombre de surjections de E vers F, i.e . Je ne sais pas vraiment par où commencer outre le fait que l’on sait que Auriez-vous une idée?

[lyceen95]

Je ne connais pas de formule magique qui donne la réponse.
Je n'ai pas envie de chercher une formule.
Si je devais chercher (si j'étais à ta place donc), je testerais ce qui se passe pour des petites valeurs de n.
n=1, puis n=2, puis n=3 puis n=4 etc.
Soit je trouve une formule de récurrence que je vais devoir ensuite démontrer
Soit je vois se dessiner une certaine 'mécanique', qui me permet de deviner la formule finale. (et il va falloir justifier cette formule finale).

Je précise juste un point de vocabulaire. Chercher est parfois synonyme de réfléchir, parfois synonyme de googliser. Ici, le parle évidemment de réfléchir.

[catamat]

Bonjour

Pour aider à la réflexion, on peut se demander ce qui se passerait si on enlevait les trois éléments supplémentaires de l'ensemble de départ...

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
On peut aussi s'intéresser au nombre de partitions de en classes (voir le rapport avec le nombre de surjections sur un ensemble à éléments).
(Pour catamat : quels sont les trois éléments supplémentaires ??)

[catamat]

Je voulais dire compter les surjections en ayant enlevé trois éléments de E (bien sûr il faut compter les choix possibles de ces trois éléments) puis ensuite choisir les images de ces trois éléments.
Toutefois à la réflexion il y aura des doublons... donc suivre plutôt une autre piste , désolé...

[GaBuZoMeu]

Parmi les partitions d'un ensemble à éléments en classes il y a :
- celles où une classe à quatre éléments, et toutes les autres un ;
- celles où une classe a trois éléments, une autre deux, et toutes les autres un ;
- celles où trois classes ont deux éléments, et toutes les autres un.
Il suffit alors de compter.