Dénombrement des racines d'un polynôme

[jonses]

Bonjour,

J'essaye de faire un petit exercice sur les polynômes, mais je reste bloqué sur un calcul (qui est dans mon raisonnement):

-
Soit élément de de degré

On suppose que toutes les racines de sont réelles (distinctes ou non),

je dois montrer qu'alors toutes les racines de sont réelles.

-

Ce que j'ai fait :


Je note le nombre de racines deux à deux distinctes de multiplicité égal à 1 de , et le nombre de racines deux à deux distinctes de de multiplicité au moins égal à 2.

Je note les racines deux à deux distinctes de multiplicité égal à 1 de ,

les racines deux à deux distinctes de multiplicité au moins égal à 2 de , et leur multiplicité respective qui est au moins égal à 2.

Selon moi, j'ai alors :

Après un petit raisonnement d'analyse (théorème de Rolle en gros) sur la fonction associée à P, j'ai montré qu'entre et ( non inclus) il y a une racine réelle de P', qu'entre et ( non inclus) il y a une racine réelle de P', etc...

donc admet déjà au moins racines.


Enfin, comme sont racines de de multiplicité au moins égal à 2, ils sont aussi racines de de

multiplicité égal à

Mais je suis bloqué car : je n'ai pas

ce qui m'empêche de conclure...


Si quelqu’un peut m'aider svp, m'expliquer pourquoi je n'arrive pas à aboutir (est-ce que je me suis trompé sur le dénombrement des racines et de leur multiplicité ? ...)

Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Maxmau]

Bonjour,

J'essaye de faire un petit exercice sur les polynômes, mais je reste bloqué sur un calcul (qui est dans mon raisonnement):

-
Soit élément de de degré

On suppose que toutes les racines de sont réelles (distinctes ou non),

je dois montrer qu'alors toutes les racines de sont réelles.

-

Ce que j'ai fait :


Je note le nombre de racines deux à deux distinctes de multiplicité égal à 1 de , et le nombre de racines deux à deux distinctes de de multiplicité au moins égal à 2.

Je note les racines deux à deux distinctes de multiplicité égal à 1 de ,

les racines deux à deux distinctes de multiplicité au moins égal à 2 de , et leur multiplicité respective qui est au moins égal à 2.

Selon moi, j'ai alors :

Après un petit raisonnement d'analyse (théorème de Rolle en gros) sur la fonction associée à P, j'ai montré qu'entre et ( non inclus) il y a une racine réelle de P', qu'entre et ( non inclus) il y a une racine réelle de P', etc...

donc admet déjà au moins racines.


Enfin, comme sont racines de de multiplicité au moins égal à 2, ils sont aussi racines de de

multiplicité égal à

Mais je suis bloqué car : je n'ai pas

ce qui m'empêche de conclure...


Si quelqu’un peut m'aider svp, m'expliquer pourquoi je n'arrive pas à aboutir (est-ce que je me suis trompé sur le dénombrement des racines et de leur multiplicité ? ...)

Je vous remercie d'avance pour vos réponses

Bj
Il faut appliquer Rolle à partir de tous les points les ai et les bi

[Ben314]

Bj
Il faut appliquer Rolle à partir de tous les points les ai et les bi

donc, dans cet exo, ce n'est pas malin de séparer les racines simples des autres...

On peut parfaitement écrire que, "si est une racine de d'ordre alors est une racine de d'ordre " même dans le cas où en précisant qu'une "racine d'ordre 0", ben... c'est pas une racine...

[jonses]

Je m'en suis rapidement rendu compte que mon problème est d'avoir bêtement séparé les racines en deux ensembles (inutiles dans la situation)^^
sinon c'était en fait pas si compliqué en considérant les racines distinctes avec leur multiplicité respective (éventuellement égal à 1 ou plus)

[deltab]

Bonjour.

Il ne faut pas oublier que le théorème de Rolle assure l'existence et non l'unicité. Appliques le théorème de Rolle en prenant 2 racines consécutives de P(x). Attention aussi aux indices de sommation.

Selon moi, j'ai alors :

C'est qu'il fallait écrire. ( la sommation se fait à partir de k=1 et non à partir de k=0)

[jonses]

Bonjour.

Il ne faut pas oublier que le théorème de Rolle assure l'existence et non l'unicité. Appliques le théorème de Rolle en prenant 2 racines consécutives de P(x). Attention aussi aux indices de sommation.


C'est qu'il fallait écrire. ( la sommation se fait à partir de k=1 et non à partir de k=0)

Oui je sais bien que le théorème de Rolle ne garantit pas l'unicité, mais après calcul on aboutit à ce que le polynôme ait des racines dont la somme des multiplicités est au moins égal à son degré, ce qui veut dire que ce sont ses racines exactement (plus quelques autres argument, etc.)

Et pour la somme c'est clair, elle a aucun sens n'est même pas défini^^ Je me suis juste trompé en écrivant

[deltab]

Bonsoir

Oui je sais bien que le théorème de Rolle ne garantit pas l'unicité, mais après calcul on aboutit à ce que le polynôme ait des racines dont la somme des multiplicités est au moins égal à son degré, ce qui veut dire que ce sont ses racines exactement (plus quelques autres argument, etc.)

Et pour la somme c'est clair, elle a aucun sens n'est même pas défini^^ Je me suis juste trompé en écrivant

Si maintenant q désigne le nombre de racines distinctes de , alors . Dans, les racines de seront respectivement de multiplicité avec la convention rappelée plus haut: une "racine" de multiplicité nulle n'est pas une racine.(Les racines simples de ne seront plus des racines de .
Le nombre de nouvelles racines de P'(x) vaut . En notant par leur multiplicité, on aura .

La somme des multiplicités de toutes les racines de P'(x) vérifiera:



Si l'une des nouvelles racines de P'(x) n'était pas simple on aurait : et
contradiction avec le degré de P'(x). Les racines de P'(x) sont bien toutes réelles.

[jonses]

Merci !

Mais je l'ai déjà résolu juste après que Maxmau m'a rappelé que je n'ai pas appliqué Rolle entre toutes les racines