Dénombrement des éléments d'un espace vectoriel.

[PhilT]

Bonjour à tous/toutes

Un petit exercice qui me pose quelques difficultés :

Soit K un corps commutatif de cardinal p et E un K-ev de dimension n.

Calculer card E.

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Les éléments de E s'écrivent sous forme de combinaison linéaire de n vecteurs formant une base de E, associés par multiplication externe aux p éléments de K.

Mes questions : faut-il distinguer p n ?
Le résultat s'obtient-il par la formule des combinaisons avec répétition ?
Si c'est la formule des combinaisons qui s'applique ou devait s'appliquer, comment traiter la cas p > n ?

Merci par avance pour m'aider à traiter.

[EGA-SGA]

Bonjour,
Ton idée de dénombrer les façons d'ecrire des combinaisons linéaires est bonne.
Combien y a t il de combinaisons linéaires possible?
Tu devrais alors obtenir facilement les réponses à tes questions.

[zygomatique]

salut

nul besoin de distinguer p n

un espace vectoriel de dimension n sur K est l'ensemble de tous les n-uplets (a1, a_2, ..., a_n) doù les a_i sont des éléments de K ....

[PhilT]

D'après vos éléments de réponse, je pense que c'est la formule du nombre de combinaisons avec répétitions qui s'applique ; il s'agirait de trouver des n-uplets à partir de k éléments, quitte à en utiliser certains plusieurs fois, voire exclusivement ?

Ca donnerait donc

Correct ?

Merci de me dire

[zygomatique]

:doh:

ben non c'est tout simplement ...

[PhilT]

Eh oui ! il fallait penser au nombre d'applications d'une ensemble à n éléments dans un ensemble à p éléments ! C'est pertinent comme analogie

Merci zygomatique !

(si tu as qqs instants pour me préciser ta réponse concernant mon sujet sur l'ev de polynômes ; la question des degrés qui permettrait de conclure à l'indépendance linéaire des vecteurs de la famille..., merci de me dire )

[PhilT]

Je n'avais pas vu que tu avais déjà répondu aussi à l'autre sujet. Ne tiens pas compte de ma dernière remarque stp! Merci

[PhilT]

Je n'avais pas vu que tu avais répondu à l'autre sujet. Ne tiens pas compte de ma dernière remarque stp ; merci