Dénombrement avec le binôme de Newton

[s.wilks]

Bonjour,

J'ai une question de dénombrement avec le binôme de Newton.
Le binome de Newton s ecrit:


En utilisant le cas particulier ou a=1 et b=-1, montrer que dans un ensemble de cardinal n, il y a autant de sous-ensembles ayant un cardinal impair que de sous-ensembles de cardinal pair.

Merci pour votre aide.

s.wilks

[raito123]

Le nombre de sous ensembles de cardinal impair est
De même pour les pair.
Et tu montres l’égalité de ces deux termes grâce au binôme de Newton.

[s.wilks]

Bonjour,

Avant tout, raito123, merci de m'avoir répondu.

Il y a quelque chose que je parviens bien à écrire:







Mais après, je ne comprends pas pourquoi tu écris que le nombre d'ensembles de cardinal impair est:

Le nombre de sous ensembles de cardinal impair est
De même pour les pair.
Et tu montres l’égalité de ces deux termes grâce au binôme de Newton.

Je te remercie d'avance pour ta réponse.

s.wilks

[raito123]

C'est quoi le nombre de sous ensemble de cardinal 3 qu'on peut construire, de cardinal 5 de cardinal 7, c'est quoi alors leur somme?

[s.wilks]

Merci pour ta réponse, Raito123, mais je ne vois pas comment tu fais.

C(n,3) = n! / ((n-3)! 3!)

C(n,5) = n! / ((n-5)! 5!)

C(n,7) = n! / ((n-7)! 7!)


Mais comment arrive-t-on à dire que C(n,3), C(n,5) et C(n,7) sont impairs ?

Merci pour ta réponse.

s.wilks

[raito123]

Je n'ai pas vraiment bien compris ta question.

[raito123]

Ils sont pas impairs, C(n,3) est le nombre de sous ensemble de {1...3} de cardinal 3, et c'est 3 qui est impair.

[s.wilks]

Bonjour Raito123,

Avant tout, merci de m'avoir répondu.

Mais je ne comprends pas comment on peut dire que C(n,3) est impair (ni C(n,5),
ni C(n,7)... etc d'ailleurs).

Tu as écrit "C(n,3) est le nombre de sous ensemble de {1...3} de cardinal 3",
mais C(n,3) est le nombre de sous-ensembles de {1, ..., n} de cardinal 3.

Je te remercie d'avance pour ta réponse.

s.wilks

[s.wilks]

Ok, Raito123.

Pour tout n > 1, C(n,p) est le nombre de sous-ensembles de {1, ..., n} de cardinal p.
Donc:
- si p est impair, C(n,p) est le nombre de sous-ensembles de {1, ..., n} de cardinal impair
- si p est pair, C(n,p) est le nombre de sous-ensembles de {1, ..., n} de cardinal pair

d'où


Et voilà. C'est ça ?

Merci.

s.wilks

[raito123]

Ok, Raito123.

Pour tout n > 1, C(n,p) est le nombre de sous-ensembles de {1, ..., n} de cardinal p.
Donc:
- si p est impair, C(n,p) est le nombre de sous-ensembles de {1, ..., n} de cardinal impair
- si p est pair, C(n,p) est le nombre de sous-ensembles de {1, ..., n} de cardinal pair

d'où


Et voilà. C'est ça ?

Merci.

s.wilks

Oui c'est un n et non pas 3.

Et non ce n'est pas la bonne formule, tu dois démontrer que

[s.wilks]

Bonjour Raito123,

Merci pour ta réponse.
Effectivement, tu as raison: dans la formule que j'ai écrite, il manquait un signe "-" à droite du signe "=" (pour faire 2 signes "-" à droite du signe "=").

s.wilks

[raito123]

Je t'en prie :lol3: ..........