Dénombrabillité et fonctions numériques

[RoadToEngineering]

Soit f : R -> R monotone (disons croissante)
Montrons que l'ensemble des images sur lesquelles f est constante est dénombrable.
Une aide svp ?

[Ben314]

Salut,
Si à chacune des valeurs qui t'intéresse tu associe un rationnel dont l'image par f soit la valeur en question (pourquoi en existe-t-il au moins un ?) alors la fonction ainsi définie est injective (pourquoi ?) et à valeur dans Q qui est dénombrable donc . . .

[tournesol]

bonjour Ben314
Tu as la chance d'avoir compris la question .

[Ben314]

C'est vrai que "les images sur lesquelles f est constante", ça veut pas dire grand chose.
C'est à remplacer avantageusement par "les images admettant plus d'un antecedent" : si f est monotone, le fait que deux points distincts aient la même image signifie que f est constante sur l'intervalle non trivial d'extrémité les deux points en question.

[tournesol]

Merci à toi Ben314 .

[RoadToEngineering]

Salut,
Si à chacune des valeurs qui t'intéresse tu associe un rationnel dont l'image par f soit la valeur en question (pourquoi en existe-t-il au moins un ?) alors la fonction ainsi définie est injective (pourquoi ?) et à valeur dans Q qui est dénombrable donc . . .

Déjà merci pour ta réponse !

Il en existe au moins un car Q est dense dans R.
Ensuite, si j'ai bien compris, je pose f qui à toute valeur image d'un intervalle sur lequel f est constante (farfelu mais je ne sais pas comment mettre de signes mathématiques), on associe un rationnel.
Cette fonction est donc injective (en effet, puisque tout élément de Q admet soit un seul antécédent qui est l'intervalle qui lui est associé, soit aucun antécédent).
On a prouvé ainsi que l'ensemble des y tel f est constante sur au moins deux points a et b et f(a)=f(b)=y

C'est bien ça ?

[tournesol]

Ben314 , tu associes un rationnel . Axiome du choix ?

[Ben314]

Si tu veut, tu peut, mais tu peut aussi t'en passer par exemple en prenant systematiquement le rationnel dont le dénominateur est minimal et, s'il y en a plusieurs, celui de numérateur minimal (ce qui revient à munir Q de l'ordre lexicographique avec le dénominateur comme première lettre)

[tournesol]

Bonjour Ben314
Je me doutais qu'on pouvait particulariser mais je n'avais pas pensé à l'ordre lexicographique .
Ce dernier me parait s'appliquer seulement si le dénominateur minimal est égal à1 .
Dans le cas contraire , le numérateur me semble unique :
Si un intervalle contient les fractions irréductibles a/b et (a+1)/b il contient très probablement une fraction de dénominateur b-1 , ou b-2 pour b >2 .