random a écrit:il faut démontrer que pour tout y de [-1,1] il existe x tel que y=f(x)
:++:
oui, c'est cela. Il faut montrer que tout élément du codomaine de la fonction (ensemble d'arrivée) est une image. Voilà quelques résultats sur les surjections:
A)
- la composée de deux surjections est une surjection
B)
- l'image d'un intervalle I par une fonction continue f est un intervalle J
La restriction de f au codomaine J est surjective.
C)
une application f , d'un ensemble E vers F, se décompose ainsi:
ssi
est une relation d'équivalence.
(surjection)
(bijection)
(injection)
c'est la décomposition canonique d'une application en le produit d'une surjection, d'une bijection et d'une injection.
D)
f est surjective ssi f admet un inverse g à droite pour la composition des applications.
Pour chaque y de l'ensemble f(E), g(y) est définie en choisissant (axiome du choix) un élément x dans l'image réciproque
.
Pour les y dans
\
, on fixe
pour un
arbitraire.
par ex, la fonction "carré" , de
sur
a deux inverses à droite:
et
et évidemment, considérer une racine carrée, c'est choisir une inverse plutôt
que l'autre, ce qui fait...bien flipper les élèves de Seconde. :zen:
E)
Soient E et F deux ensembles. on prend comme définition de
la propriété:
il existe une surjection
F) une surjection classique est celle donnée par une relation d'équivalence:
qui, à un élément, associe sa classe.