Démontrer une implication 'Arithmétique'

[leon1789]

Le vocabulaire ça compte pour moi : c'est quoi "les lignes légères"??

c'est du vocabulaire non-mathématique : je voulais dire que les lignes sont simples, courtes, etc.

[lapras]

Tien petit exo raito :
démontre que PGCD(a^n ; b^n) = PGCD(a;b)^n
Je viens de le démontrer en pensant aux PGCD(a²;b²) et PGCD(a;b)²
c'est quand même marran toutes les propriétés qui découlent du PGCD :D

[raito123]

Qu'ils sont égals?

démontre que PGCD(a^n ; b^n) = PGCD(a;b)^n

[lapras]

oui :)
Enfin je n'ai jamais vu cette propriété sur le net, donc ca se trouve ma démonstration est fausse et la propriété est fausse...

[raito123]

Je ne vois aucun contre exemple !!!

Pose ta démonstration stp!!

[lapras]

Ok
Soit D = PGCD(a ; b)
d = PGCD(a^n ; b^n)
d a une décomposition unique en facteurs premiers
en particulier, il est évident que d est une n-puissance.
donc d = k^n
k^n | a^n
donc k | a
de même k | b
donc k | D
donc k^n | D^n
donc d | D^n
de plus,
D|a
D|b
donc
D^n|a^n
D^n|b^n
donc D^n | d
donc
D^n |d
d |^n
donc d = D^n
CQFD

[leon1789]

Ok
Soit D = PGCD(a ; b)
d = PGCD(a^n ; b^n)
d a une décomposition unique en facteurs premiers
(...)

Si on veut utiliser la décomposition en facteurs premiers, autant le faire pour a et b , et tous les autres intervenants :







Comme , on récupère

[raito123]

Que des bonnes méthodes :++: