Démontrer qu'une fonction f est continue

[ThoralfArhbard]

Bonjour à tous,

Je bloque sur un petit problème de continuité. Je dois étudier la continuité de f telle que:



J'ai montré que f est continue à droite sans problème. Par représentation graphique, je vois bien que f est continue à gauche sur \ mais je n'arrive pas à le démontrer formellement.
J'ai également montrer sans aucun problème que f est 1-périodique.

Comment démontrer que f est continue sur \ ?

Merci d'avance pour votre soutien.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Pourquoi parles-tu de ?
Le seul problème pour la continuité de se situe aux points entiers, c;-à-d. aux points de . Et il est facilement traité quand on s'intéresse à la fonction . Elle vaut bien sûr 0 pour tout entier. Quelle est sa limite quand on tend vers un entier par valeurs strictement supérieures ? Par valeurs strictement inférieures ?

[ThoralfArhbard]

Pourquoi parles-tu de \?

Parce que je ne me suis pas relu... Toutes mes excuses, il s'agissait bien évidemment de .

Quelle est sa limite quand on tend vers un entier par valeurs strictement supérieures ? Par valeurs strictement inférieures ?

En valeurs supérieures, je tombe sur (car on approche la partie entière de droite à gauche, )
En valeurs inférieures, je tombe sur (car on approche la partie entière de gauche à droite). Je me doute bien qu'il y a un problème vu que je dois établir la continuité de cette fonction.

[GaBuZoMeu]

Tes réponses sur mes questions de limites ne font pas sens. Peut-être n'as-tu pas bien compris mes questions. Je les reformule

1°) Que vaut ?

2°) Que vaut ?

3°) Que vaut ?

4°) Que vaut ?

[ThoralfArhbard]

Je pense avoir bien compris le sens de tes questions mais cela me semble bien plus simple avec cet exemple. Etant donné que la partie entière d'un nombre entier est égal à ce même nombre entier, je dirais que:



Cela entraîne que la réponse à la question 2° vaut également 0. Par le même raisonnement, 3° et 4° valent 0.

[GaBuZoMeu]

je dirais que:

et tu te trompes en disant ça.

Est-ce que E(1788,9)=1789 ?

[ThoralfArhbard]

Est-ce que E(1788,9)=1789 ?

Non car .
Par conséquent, .

[GaBuZoMeu]

Peux-tu alors revenir sur
?
et repenser aux questions 1°) à 4°) ?

[ThoralfArhbard]

Si je comprends bien, il faut considérer aussi proche qu'on veut de sachant qu'il n'atteint jamais cette valeur. Par conséquent, peut valoir ce qui implique: .

Si ce que je dis se tient, alors nous avons:


Par conséquent,

2°) vaut ,
3°) Je suis embêté. Si je reprends la même logique que pour 1°), étant strictement supérieur à , on peut prendre auquel cas donne . Je m'égare ?

[GaBuZoMeu]

Quel est ton problème avec la partie entière ? Tu ne sais pas ce que vaut ?

[ThoralfArhbard]

Si, mais je ne vois pas comment calculer la partie entière quand x tend vers 1789 en étant strictement supérieur à 1789.

[tournesol]

C'est évident , c'est 1789
si x tend vers 1789 par valeurs strictement inférieures , c'est 1788

[GaBuZoMeu]

Blague ou lapsus, tournesol ?

Pour tout x supérieur ou égal à 1789 et strictement inférieur à 1790, la partie entière de x est 1789.
Pour tout x supérieur ou égal à 1788 et strictement inférieur à 1789, la partie entière de x est 1788.
Ce n'est pourtant pas sorcier !

[ThoralfArhbard]

A force de réfléchir dessus, je passe à côté de certaines évidences...

J'obtiens:




Ce qui montre que est continue en . Je pense ne pas dire de bêtises en affirmant que cela convient pour tout \.

[GaBuZoMeu]

Tu voulais dire pour tout ?

[tournesol]

Bonjour et merci GaBuZoMeu
C'etait un lapsus. J'ai rectifié dans le message .

[ThoralfArhbard]

Tu voulais dire pour tout ?

Oui, décidément... Navré pour ces multiples étourderies !

Dit autrement, pour tout \, la fonction est continue car et le sont. Pour tout , on montre que est continue à gauche et à droite comme réalisée ci-dessus.
Conséquence: est continue sur .

[tournesol]

Cet exo est très pédagogique car pour démontrer le continuité on utilise sur R\Z les opérations sur les fonctions continues , et sur Z la caractérisation par coïncidence des:
limite à gauche , limite à droite , et valeur de la fonction en un point