Démontrer que log10(5) n'est pas rationnel

[StupideMoi]

Salut à tous :)!!
Alors, j'ai essayé de faire cet exercice:
Démontrer que log10(5) n'est pas rationnel.
Mais je me trouve bloquer, voici ma solution :
Montrons que log10(5) n'est pas rationnel par une démonstration par l'absurde, on suppose que log10(5) est rationnel, c'est-à-dire que:
log10(5)=a/b ; a appartient à ;), b appartient à ;)* et a et b sont premiers entre-eux
On a: log10(5)=log5/log10=ln5/ln10 ; log10>log5>0 et 0ln5/ln10=a/b ; b>a>0 ;) b-a>0 et 0b.ln5=a.ln10
ln5^b=ln10^a
5^b=10^a
5^b=5^a.2^a
5^b/5^a=2^a
5^b-a=2^a
...
Je ne sais pas comment utiliser l'unicité de la décomposition en facteurs premiers pour continuer :mur: , s'il vous plaît aidez-moi :cry: !!
Merci beaucoup pour votre temps ;)!!

[Le_chat]

5^b=10^a

T'es bien parti! A partir de là, si tu écris 10=2*5, tu obtiens...

[StupideMoi]

T'es bien parti! A partir de là, si tu écris 10=2*5, tu obtiens...

10^a=2^a*5^a

[Le_chat]

Et donc, en utilisant 5^b=10^a...

[StupideMoi]

Et donc, en utilisant 5^b=10^a...

5^b=2^a*5^a

[Le_chat]

Et donc... Je ne vais pas tout faire à ta place, c'est fini dans une ligne...

[StupideMoi]

Et donc... Je ne vais pas tout faire à ta place, c'est fini dans une ligne...

J'ai compris maintenant:
5^(b-a)=2^a
Cela est impossible car 5 et 2 sont premiers entre-eux: aucune puissance de 2 est divisible par 5.
Alors log(10)5 est irrationnel.
Est-ce exact?

[Nightmare]

On peut se passer de lignes inutiles. Arrivé à 5^b=10^a, il suffit de dire qu'un membre est divisible par 2 et pas l'autre.

[StupideMoi]

On peut se passer de lignes inutiles. Arrivé à 5^b=10^a, il suffit de dire qu'un membre est divisible par 2 et pas l'autre.

Merci pour votre suggestion !!