Démontrer des inégalités

par **Mag** » 27 Oct 2008, 12:24

Bonjour tout le monde,
J'aimerais de l'aide sur un exercice où je dois émontrer des inégalités:
Il faut montrer que pour x >-1, on a:

x-(x²/2)<=ln(1+x)<=x

Je pensais démontrer la première inégalité puis la suivante séparément, en partant de x>-1 et en faisant des calcules dessus pour arriver à une des expessions ci-dessus, mais je n'y arrive pas.
Sinon je pensais utiliser les encadrements avec les limites mais on tombe sur ln("0") lorsque x tend vers -1 donc ça pose problème.

Donc est ce que quelqu'un peut m'éclairer?

Merci.

par **miikou** » 27 Oct 2008, 12:46

un seul mot : derivation

par **Doraki** » 27 Oct 2008, 13:02

Mag a écrit:Il faut montrer que pour x >-1, on a:

x-(x²/2)<=ln(1+x)<=x

Bonne chance pour montrer avec x= -1/2 que
-0.625 <= ln(1/2) = -0.693...

par **Mag** » 27 Oct 2008, 14:01

désolée Doraki mais je ne comprends pas trop ton raisonnement.

Je vais essayer de faire comme Miikou a dit, en dérivant mais il faut dériver les trois expréssions? ou bien vérifier les inégalités deux par deux en les exprimant par rapport à 0?

par **fourize** » 27 Oct 2008, 14:13

salut
moi non plus je comprends pas Doraki desolé!
par contre la derivé me semble une bonne piste.

tu pose f(x)= x - ln(1+x) dans le but de montrer que f(x) >=0
et g(x)= x - (x²/2) - ln(1+x) dans le ... que g(x)<=0

de ce faite tu calcule les derivés respectives de deux fonctions;leurs
limites et leurs tableaux de variation (ces derniers te permetras de
savoir les signes des fonctions )

bonne chance!

par **Mag** » 27 Oct 2008, 14:29

ok merci fourize je vois où tu veux en venir.
Je vais essayer comme ça

par **Mag** » 27 Oct 2008, 15:08

bon merci pour le tuyaux mais j'ai un beug avec le signe de g(x), il n'est pas tout le temps négatif, sur ]-1; +l'infinie[ g(x) est posive sur ]-1; 0]

par **fourize** » 27 Oct 2008, 16:16

je suis de retour mag!

en fait je viens de me rendre compte (comme tu le dis dans ta derniere
poste) que g pose probleme sur ]-1;0] .
pour la premiere inegalité c est bon.

par rapport à ton idée sur le premier poste. on tombe pas ln("0")
comme tu le dis; mais sur ln(0+). donc ca peut macher.

en effet: -1 n'est pas inclu dans le domaine; si tu calcule la
limite c est en -1+(à droite de -1).
si tu veux bien expliquer cette methode je pourrais peut etre t'aider!!!

par **leon1789** » 27 Oct 2008, 16:25

fourize a écrit:salut
moi non plus je comprends pas Doraki desolé!
par contre la derivé me semble une bonne piste.

et tu ne comprends pas ce que Doraki a voulu dire ?! mdr :ptdr:

par **Mag** » 27 Oct 2008, 16:30

ba nan dsl mais je ne suis pas la seule!! En attendant je bloque tooujours pour démontrer que g(x) est négative!!

par **fourize** » 27 Oct 2008, 16:31

aide nous à resoudre maintenant qu'on a compris ce qu'il a voulu dire.
il a dis comme ca sans expliquer.comment voullais tu qu'on comprenne leon1789:briques:

explique moi ta methode de limite mag . ca devait etre la bonne pour la deuxieme inegalité

par **Mag** » 27 Oct 2008, 16:34

ou là doucement moi j'ai toujours rien pigée!! Je suis pas du tout une matheuse!!

par **Doraki** » 27 Oct 2008, 16:40

Mag tu as montré que g était positive sur ]-1;0[, et c'est vrai parceque tu t'es pas trompée.
Donc je pense que tu risques d'avoir du mal à prouver que g est négative.
Ca serait bien si par exemple tu prouver que g(-1/2) (une valeur que j'ai prise au hasard) était négatif.
Or g(-1/2) ça fait environ 0.0681, donc il faut que tu montres que 0.0681 est négatif (bon courage).

par **Mag** » 27 Oct 2008, 18:32

ok j'ai compris mais le truc c'est que j'ai démontré que f(x) est positive mais pas g(x). effictivement je n'arrive pas à démontrer que g(x) est négative et pourtant quand je tappe la fonction sur la calculatrice, je la trouve bien négative sur ]0;+l'infinie[ avec g(x)= x-(x²/2)-ln(1+x). De plus j'ai bien besoin de démontrer que g(x) est négative pour montrer que x-(x²/2)<= ln(1+x) Non?Sinon cmment je fais?

par **Doraki** » 27 Oct 2008, 18:45

Tu peux montrer que g'(x) est négative sur ]-1;+ l'infini[ et que g(0) = 0 ?

par **Mag** » 27 Oct 2008, 18:55

oui effectivement j'ai démontré que g'(x) négative et maintenant je viens de calculer g(0) et s'est égale à 0 le prob c'est que la limite en -1 me donne +l'infinie à moins que je me soit trompée totalement (ce qui est possible), ça me casse tout car du coup je ne peux pas avoir g(x) négative

par **Doraki** » 27 Oct 2008, 19:22

T'as montré que g était positive sur ]-1;0] et négative sur [0;+l'infini[, non ?

Tu fais quoi quand on te demande de montrer des trucs ridicules du style
"montrez que 42 <= -18"
ou bien
"montrez que -0.625 <= -0.693"
ou bien
"montrez que x-x²/2 <= ln(1+x) pour x=-1/2"
ou encore
"montrez que x-x²/2 <= ln(1+x) pour tout x > -1" ?

par **Mag** » 27 Oct 2008, 19:36

nan je n'ai pas démontré que g était positive sur [0;1], et avec la calculatrice je voir que g est positive sur ]-1;0] puis négative jusqu'à +l'infinie mais le truc c'est que j'ai besoin qu'elle soit toujours négative pour démontrer ce que je dois démontrer et il faut qu'il y ait une solution car sinon je ne peux pas continuer mon exo

par **Purrace** » 27 Oct 2008, 19:37

Je ne connais pas ton niveau mais tu peut éventuellement utiliser Taylor young avec reste intégrale (Prendre de l'avance) , c'est plus rapide.

par **Mag** » 27 Oct 2008, 20:34

dsl mais je ne connais pas du tout taylor et je n'ai pas tout compris au reste et pour info je ne suis pas très douées en maths et je suis en spé bio

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