Démontrer ABCD parallélogramme avec produit scalaire

[Ben314]

Oui, c'est bon.
Et en fait tu peut même voir "géométriquement" pourquoi ça va être bon :
De dire uniquement que AB=CD et AD=BC, c'est assez clair que ça suffit pas, surtout dans R^3 où ça n'implique même pas que A,B,C,D soit coplanaire (dans un tétraèdre régulier ABCD, on a évidement AB=CD et AD=BC alors que ABCD n'est pas du tout un parallélogramme). Donc il faut (au moins) une condition en plus.
Si on met comme condition supplémentaire que A,B,C,D sont coplanaire, ça marche "presque", mais pas tout à fait : Si on fixe une fois pour toute 3 points A,B,D dans un plan puis qu'on cherche C (dans le plan) tel que DC=AB et BC=AD (en distances) ça signifie qu'on cherche l'intersection du cercle de centre D de rayon AB avec le cercle de centre B de rayon AD. Et qui dit intersection de deux cercles dit DEUX points C solutions alors qu'il n'y a évidement qu'un seul point C tel que ABCD soit un parallélogramme (celui tel que en vecteurs).
Enfin, en faisant quelques dessins, on peut se convaincre que, pour ne garder comme solution que "le bon" C (et éliminer l'autre) il suffit de rajouter comme condition supplémentaire qu'on veut que C et D soit du même coté de la droite (AB) et que C et B soit du même coté de la droite (AD) ce qui correspond dans ton énoncé à la positivité des coefficients et .

[zouzou8]

Merci beaucoup pour ce complément Ben314 !
J'avais interprété la positivité de et en terme de convexité de ABCD (cela permet qu'il ne soit pas croisé, donc on s'assure que ce soit un parallélogramme), mais je n'avais pas visualisé cela en terme d'outil de choix entre les deux points d'intersection des deux cercles définis par les égalités DC=AB et BC=AD !

[Pseuda]

Non il n' y rien de bizarre. Il y a peut être une tache blanche à cette endroit de l'écran de ton ordi .

J'avais pas vu ça. Is it a joke ? Comment peux-tu savoir ce que je vois ? D'habitude je ris, mais là non.