Démonstrations ensemblistes sur le binome

[Dubble]

Bonjour.
J'aimerais savoir comment démontrer de manière ensembliste que
k parmi n = n!/(k!(n-k)!)
k parmi n = n-k parmi n (il faut mettre en bijection l'ensemble des parties à k éléments d'un ensemble à n éléments avec l'ensemble des parties à n-k éléments de ce même ensemble à n éléments ?)
somme des k parmi n = 2^n. (Il faut dire qu'on a à droite l'ensemble des parties d'un ensemble à n éléments, et comment démontrer que ca fait 2^n ?)
p parmi n = p parmi n-1 + p-1 parmi n-1 (alors là, si la démo avec la formule est évidente, j'ai un problème pour le faire avec des ensembles..)
Merci de votre aide.

[arnaud32]

k parmi n = n!/(k!(n-k)!)

tu fais correspondre a un arrangement de taille k la partie constituee de ses composantes.
et tu utilises la relarion d'equivalence associee a cette application.

k parmi n = n-k parmi n
choisir une partie a k elements revient a choisir son complementaire

somme des k parmi n = 2^n
tu fixes x parmi les n et tu decoupes les parties en celles contenat x et celles ne le contenant pas. tu as une relation de recurence qui te mene au resultat.

p parmi n = p parmi n-1 + p-1 parmi n-1
tu fixe un point de l'ensemble. 'choisir p parmi les n' peut etre decoupe entre 'prendre p parmi les n prive de x' + 'prendre x et p-1 parmi les n prive de x'