Démonstrations algébriques

[Ju64200]

Bonjour,

Je n’arrive pas à expliquer en langage mathématique les points suivants, même si je comprends leur signification et que je pourrais les expliquer sous forme de phrase mais ce n’est pas l’objectif…

Soient A et B deux sous ensembles de Y.
(a) Montrer que f-¹(A^c) = [ƒ-¹(A)]^c.
(b) Montrer que f-¹(AUB) = f-¹(A) U f-¹(B).
(c) En déduire directement des points (a) et (b) que f-¹(An B) = f-¹(A) n f-¹(B).

Merci d’avance, en ayant un modèle pour la (a) je pourrais déjà réfléchir davantage sur l’écriture de (b) …

[Sa Majesté]

(b) Montrer que f-¹(AUB) = f-¹(A) U f-¹(B).

Il faut montrer une égalité entre 2 ensembles.
En général, ça se fait en démontrant la double inclusion.
1ère partie : f-¹(AUB) inclus dans f-¹(A) U f-¹(B)
L'inclusion se montre en général en prenant un élément quelconque du premier ensemble et en démontrant qu'il est dans le deuxième ensemble.
Soit x \in f-¹(AUB)
Alors f(x) \in AUB
Donc f(x) \in A ou f(x) \in B
Donc x \in f-¹(A) ou x \in f-¹(B)
Donc x \in f-¹(A) U f-¹(B)
CQFD

2ème partie : f-¹(A) U f-¹(B) inclus dans f-¹(AUB)

[tournesol]

On a par définition : ssi (1)
On a donc ssi (2)
et donc ssi (3)
On applique(1) à l'envers à et on obtient ssi (4)
(3) et (4) entrainent